Fläche bestimmen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
(x)= [mm] 1/2x^4- 2x^3 [/mm]
f´(x)= [mm] 2x^3-6x2 [/mm]
f´´(x)= [mm] 6x^2-12x [/mm]
Nullstellen x1= 0 (dreifach), x2= 4
Wir sollten jetzt zuerst die Fläche beschreiben, die der Graph mit der x-Achse einschließt...
A= Integral aus 4/ 0 [mm] 1/2x^4- [/mm] 2x^3dx= [mm] 1/10x^5-1/2x^4= 4^4 [/mm] (4/10-1/2)= 25,6
Danach sollten wir ein rechtwinkliges Dreieck bestimmen, ein Eckpunkt lautete (4/0), (U/ f(u)), (U/0)
Um die Fläche zu beschreiben:
A= 1/2* /(4-u)*f(u)/= 1/2(u-4)* f(u)= 1/2 (u-4)* [mm] (1/2u^4-2u^3) [/mm]
Jetzt die Fläche berechnen,
Extrema berechnen:
[mm] 1/2u-2*1/2u^4-2u^3 [/mm]
f´(x)= [mm] 1/2*2u^3-6u^2 [/mm]
Ns= u1= 6, u2= 0 (doppelt)
f´´(x)= [mm] 6u^2-12u
[/mm]
f´´(6)= 144 größer 0, Minimum
f´´(0)= 0
Berechnet man die Randwerte, so kommt 0 raus! Was aber, wenn da nicht Null rauskommen würde? Was bedeutet das, dass da 0 rauskommt?
Wenn ich jetzt die 6 in die Flächenfunktion einsetze
ist das dann der Flächeninhalt des größtmöglichen rechtwinkligen Dreiecks?
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Hallo, bis 25,6 FE alles korrekt,
[mm] A=\bruch{1}{2}*(4-u)*f(u) [/mm] jetzt schreibst du aber plötzlich (u-4), damit schleppst du alle Vorzeichenfehler mit, ich nehme mal an, das zu maximierende Dreieck liegt in dem Bereich, der von Funktion und x-Achse begrenzt wird, deine Aufgabenstellung fehlt,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
ja das hat mein lehrer aber geschrieben
1/2* / (4-u)*f(u)/
= 1/2(u-4)* f(u)
= 1/2 (u-4)* [mm] (1/2u^4-2u^3)
[/mm]
Das stand so an der Tafel, müsste also richtig sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 So 04.11.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, multipliziere beide Varianten aus, du bekommst zwei verschiedene Funktionen, hast du die genaue Aufgabenstellung noch? Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
Ja also wir sollen die fläche des größtmöglichen rechtwinkligen dreiecks berechnen...der graph befindet sich ja unterhalb der x-achse und schließt mir ihr eine fläche ein und in dieser fläche soll sich das dreieck befinden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 So 04.11.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
wenn das Dreieck in besagter Fläche sich befindet, dann lautet der Term (4-u), dann hat sich euer Lehrer verschrieben und versehentlich 4 und u getauscht, rechne mit (4-u) weiter
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
okay...
1/2 (4-u)* [mm] (1/2u^4-2u^3)
[/mm]
2-1/2u* [mm] 1/2u^4-2u^3
[/mm]
f´(x)= [mm] -1/2*2u^3-6u^2
[/mm]
u1= 2, u2= 0 (doppelte Ns)
f´´(x)= [mm] 6u^2-12u
[/mm]
f´´(2) = 0
f´´(0)= 0
liegt weder minimum noch maximum vor?
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Hallo, wie du gerechnet hast kann es keine Extremstellen geben:
[mm] f(u)=\bruch{1}{2}(4-u)(\bruch{1}{2}u^{4}-2u^{3})
[/mm]
[mm] f(u)=(2-\bruch{u}{2})(\bruch{1}{2}u^{4}-2u^{3})
[/mm]
[mm] f(u)=u^{4}-4u^{3}-\bruch{1}{4}u^{5}+u^{4}
[/mm]
[mm] f(u)=-\bruch{1}{4}u^{5}+2u^{4}-4u^{3}
[/mm]
jetzt kannst du die Extremwertbetrachtung machen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
die dritte zeile habe ich irgendwie nicht ganz verstanden...
okay ich habe gerechnet
f´(x)= [mm] -1/4u^4+8u^3-12u^2
[/mm]
-> u1= 0 (doppelt), u2= 16+ Wurzel 304, u3= 16-Wurzel 304
f´´(x)= [mm] -1u^3+24u^2-24u
[/mm]
f´´(33,4)= -812,03 , kleiner 0, Hochpukt
f´´(-1,43)= 16,1, größer 0, Tiefpunkt
f´´(0)= 0
Und nun:(
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Hallo, du hast leider eine 5 vergessen
[mm] f(u)=-\bruch{1}{4}u^{5}+2u^{4}-4u^{3}
[/mm]
[mm] f'(u)=-\bruch{5}{4}u^{4}+8u^{3}-12u^{2}
[/mm]
die 5 im Zähler kommt vom Exponenten,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
also:(
bei der ersten ableitung die nullstellen
x1= 0, x2= 16/5+ 4,4= 7,6, x3= 16/5-4,4= -1,2
f´´(x)= [mm] -5u^3+24u^2-24
[/mm]
f´´(7,6)= kleiner 0, hochpunkt
f´´(-1,2)= größer 0, tiefpunkt
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Hallo,
[mm] f'(u)=-\bruch{5}{4}u^{4}+8u^{3}-12u^{2}
[/mm]
[mm] 0=-\bruch{5}{4}u^{4}+8u^{3}-12u^{2}
[/mm]
[mm] 0=u^{2}(-\bruch{5}{4}u^{2}+8u-12)
[/mm]
[mm] u_1_2=0 [/mm] aber das interessiert uns nicht
[mm] 0=-\bruch{5}{4}u^{2}+8u-12
[/mm]
[mm] 0=u^{2}-\bruch{32}{5}u+\bruch{48}{5}
[/mm]
[mm] u_3_4=\bruch{32}{10}\pm\wurzel{\bruch{1024}{100}-\bruch{960}{100}}
[/mm]
jetzt schaffst du es,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
okay dankeschön!
dann hab ich als nullstellen
u1= 4 und u2= 2,4 und halt u3= 0
f´´(4) = -32 kleiner 0, Hochpunkt
f´´(2,4)= 11,5 größer 0, Tiefpunkt...
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Hallo, Glückwunsch, du hast die Stelle x=2,4 gefunden, jetzt kannst du noch den Flächeninhalt berechnen A=0,5*(4-2,4)*f(2,4), so sieht das Dreieck aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
f(2,4)...in welche funktion muss ich die 2,4 jetzt einsetzen:(
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Hallo, in die gegebene Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^{4}-2x^{3}, [/mm] Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
okay dann hab ich als flächeninhalt -10,25 raus? hast du das auch?
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Hallo, f(2,4)=-11,0592, also A=0,5*1,6*11,0592=8,85FE, die Höhe des Dreiecks beträgt 11,0592, auch wenn der Funktionswert negativ ist, rechnest du mit 11,0592, schaue dir mal meine Skizze an, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
dankeschööönn:)
du kannst echt gut mathe...
ich muss noch eine zweite aufgabe machen
also wieder zu derselben funktion: [mm] 1/2x^4-2x^3
[/mm]
Die Wendetangente und die Wendenormale schließen mit der x-Achse eine Fläche ein, Bestimme wie groß diese Fläche ist.
Also ich habe die Wendetangente berechnet, müsste:
y= -4x sein...die Wendenormale lautet dann y= 1/4, oder?
Und wie kriege ich jetzt die Fläche bestimmt ? Integral?
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Hallo, um welche Stelle x= ...?? geht es denn jetzt hast du schon die Wendestelle berechnet, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
wie meinst du das:( stelle x? ich hab nur diese aufgabe bekommen...und es handelt sich noch immer um dieselbe funktion und denselben graphen...den du eben auch gezeichnet hast!
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Hallo, es kann also nur die Stelle x=2 sein, dort hat die gegebene Funktion eine Wendestelle, der Wendepunkt lautet (2; -8), den Anstieg bekommst du über die 1. Ableitung f'(2)=-8, damit hast du den Anstieg der Tangente y=mx+n, also y=-8*x+n, jetzt hast du noch (2; -8), also -8=-8*2+n, du erhälst n=8, also y=-8x+8, jetzt finde die Normale dazu, steht senkrecht zur Tangente, die x-Achse, die Tangente und die Normale bilden ein Dreieck, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
hab gedacht man ermittelt die steigung mit y2-y1/ x2-x1...weil ich hab da -4 raus:(...aber okay, du hast mehr ahnung:)
ja also tangente ist dann 8x+8...die normale war doch was mit kehrwert? ... -1/8x-1/8 ?
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Hallo, der Anstieg der Tangente entspricht doch der 1. Ableitung an der Stelle x=2, das kannst du selber überprüfen, f'(2)=-8
Tangente: y=-8x+8
Normale: [mm] y=\bruch{1}{8}x+n [/mm] über die Anstiege weißt du [mm] -8*\bruch{1}{8}=-1, [/mm] dein n der Normale stimmt noch nicht, zur Normale gehört auch (2; -8), einsetzen in die Normalengleichung und n berechnen,
[Dateianhang nicht öffentlich]
auf der Skizze ist die Tangente rot, die Normale blau, den Schnittpunkt der Normale und x-Achse ist weiter rechts, habe die Skizze nicht weiter verkleinert,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
okay vielen dank:) jetzt weiß ich auch wie es aussieht...jetzt hab ich ja die tangente und die normale...und ich hab auch die fläche gesehen, die die beiden einschließen...aber wie soll ich diese fläche jetzt ermitteln?
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Hallo, [mm] A=\bruch{1}{2}*g*h, [/mm] die Grundseite erkennst du auf der x-Achse, der Abstand Nullstelle Tangente und Nullstelle Normale, die Höhe hast du schon mit 8, da f(2)=8,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
der abstand von tangente zur ns ist 1 ? und der abstand von der tangenten zur normalen -8 ?
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Hallo, jetzt hast du etwas verwechselt:
Tangente: y=-8x+8 Nullstelle x=1 (siehst du auch auf meiner Zeichnung)
Normale: [mm] y=\bruch{1}{8}x-\bruch{33}{4} [/mm] Nullstelle x=66 (nicht auf Zeichnung, weiter rechts)
die Grundseite ist auf der x-Achse, Abstand beider Nullstellen, also 65
Höhe ist 8
A=0,5*65*8=260FE
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 04.11.2007 | | Autor: | jane882 |
crass danke!!! aber wie bist du auf die 33/4 gekommen?
also dieses flächenstück, das wir jetzt berechnet haben...diese 260 FE....wenn das um die x-achse routiert entsteht so ein doppelkegel...wie krieg ich davon das volumen raus? mit welcher formel?
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Hallo, von der Normale kennst du [mm] y=\bruch{1}{8}x+n [/mm] und Punkt (2; -8) gehört zur Normale, einsetzen
[mm] -8=\bruch{1}{8}*2+n [/mm]
[mm] -8=\bruch{2}{8}+n [/mm]
[mm] n=-8-\bruch{2}{8}
[/mm]
[mm] n=-\bruch{32}{4}-\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] n=-\bruch{33}{4}
[/mm]
rotiert das Flächenstück um die x-Achse entsteht ein Doppelkegel, korrekt, berechne jeden Kegel einzeln, du kennst den Durchmesser der beiden Grundflächen, jeweils 16, und die Höhen der eine Kegel 1 der andere Kegel 64, ich mache jetzt Schluß, wenn du noch Fragen hast, stelle sie, du bekommst bestimmt die Antworten von anderen Teilnehmern im matheraum,
Steffi
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