Flächen von Ungleichungen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mo 08.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin an alle!
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Berechnen Sie die Flächeninhalte der folgenden Mengen:
Ellipse M ={(x,y) [mm] \in \IR [/mm] ^{2} : [mm] x^{2} [/mm] / a ^{2} + y ^{2} [mm] /b^{2} \le [/mm] 1}
a,b größer 0
wenn da nun kein [mm] \le [/mm] stände hätte ich kein Problem aber es steht nun mal
bisheriges Ergebnis < bleibt außen vor:
obige Gleichung umgestellt:
y=a/b* [mm] \wurzel{(a^{2}-x^{2}}
[/mm]
[mm] n_{1} [/mm] , [mm] n_{2} [/mm] seien die Nullstellen --> Integrationsgrenzen
[mm] \to
[/mm]
F(M)=a/b* [mm] \integral_{n_{1}}^{n_{2}} [/mm] { [mm] \wurzel{(a^{2}-x^{2}}}
[/mm]
= a/2b(x [mm] \wurzel{(a^{2}-x^{2}} [/mm] + [mm] a^{2}*arcsin(x/a) |n_{1} [/mm] , [mm] n_{2}
[/mm]
einsetzen fertig
doch wie funktioniert das bei Ungleichungen? Reicht schon die Angabe F(M)
<= Ergebnis ?
Dank für Eure Mithilfe
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Hallo Zwerg!
Die Ungleichung deutet auf das Innere der Ellipse hin. Gleichung heißt Rand. Das ist nur eine erhobene Art, sich mathematisch auszudrücken. Lass dich dadurch nicht verwirren. Also gefragt ist die Fläche der Ellipse.
Eine einfache Lösung ist folgende:
Wir machen die Variablensubstitution:
[mm]x=a\cos\varphi[/mm]
[mm]y=b\sin\varphi[/mm]
Die gleichung der Ellipse ist so automatisch erfüllt für alle [mm]\varphi \in [0;2\pi][/mm]
Die gesuchte Fläche ist:
[mm]A=2\integral_{-a}^{a}ydx=2ab\integral_{\pi}^{0}(-\sin^{2}\varphi)d\varphi=2ab\integral_{0}^{\pi}\bruch{1-\cos2\varphi}{2}d\varphi=\pi ab[/mm]
Schöne Grüße, 
Ladis
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