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Es geht daraum, welche Fläche von f(x)= (ln [mm] x)^{2} [/mm] und g(x)= ln x umschlossen wird, bzw. wie groß diese ist.
Laut dem grafikfähigen Taschenrechner müsste es sich dabei um eine Fläche von 0,28 handeln.
Wenn man es so berechnet, kommt man aber auf ein anderes Ergebnis:
1. Man berechnet die Schnittpunkte dieser Funktionen mit [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=e. [/mm]
2. Nun subtrahiert man die kleiner Funktion von der größeren:
[mm] \integral_{1}^{e} [/mm] {g(x) - f(x) dx}
also
[mm] \integral_{1}^{e} [/mm] {ln x - (ln [mm] x)^{2} [/mm] dx}
3. Jetzt folgt die Integration durch Substitution und man kommt auf Folgendes:
[mm] \integral_{1}^{e} {\bruch{1}{2}*(ln x)^{2}*x - \bruch{1}{3}*(ln x)^{3}*x dx}
[/mm]
4. Rechnet man dies laut Integrationsregeln aus, kommt man auf ein Ergebnis von [mm] \bruch{1}{2}e [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}e.
[/mm]
Wo liegt der Fehler? Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
apfelsine
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo apfelsine,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
auch wir freuen uns über eine nette Begrüßung.
> Es geht daraum, welche Fläche von f(x)= (ln [mm]x)^{2}[/mm] und
> g(x)= ln x umschlossen wird, bzw. wie groß diese ist.
> Laut dem grafikfähigen Taschenrechner müsste es sich dabei
> um eine Fläche von 0,28 handeln.
> Wenn man es so berechnet, kommt man aber auf ein anderes
> Ergebnis:
> 1. Man berechnet die Schnittpunkte dieser Funktionen mit
> [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=e.[/mm]
> 2. Nun subtrahiert man die kleiner Funktion von der
> größeren:
> [mm]\integral_{1}^{e}[/mm] {g(x) - f(x) dx}
> also
> [mm]\integral_{1}^{e} (\ln x - (\ln x)^{2}) dx[/mm]
> 3. Jetzt folgt die Integration durch Substitution und man
> kommt auf Folgendes:
> [mm]\integral_{1}^{e} {\bruch{1}{2}*(ln x)^{2}*x - \bruch{1}{3}*(ln x)^{3}*x dx}[/mm]
Das ist nicht richtig.
Das Integral [mm]\int\limits_1^{e^{1} } {\left( {\ln \;x\; - \;\left( {\ln \;x} \right)^2 } \right)\;dx} [/mm] geht durch die Substitution
[mm]\begin{gathered}
x\; = \;e^z \hfill \\
dx\; = \;e^z \;dz \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
über in
[mm]\int\limits_0^{e^{1} } {\left( {\ln \;x\; - \;\left( {\ln \;x} \right)^{2} } \right)\;dx} \; = \;\int\limits_0^{1} {\left( {z\; - \;z^{2} } \right)\;e^{z} \;dz} [/mm]
Dieses Integral wiederum kann durch partielle Integration berechnet werden.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 So 22.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo apfelsine!
Zu Mathepower's Vorschlag gibt es auch einen Alternativweg:
Du kannst gleich mit partieller Integration arbeiten, indem Du schreibst:
[mm]\integral_{}^{}{\ln(x) - \ln^2(x) \ dx} \ = \ \integral_{}^{}{\red{1}*\ln(x) \ dx} - \integral_{}^{}{\red{1}*\ln^2(x) \ dx}[/mm]
Dabei jeweils setzen:
$u' \ := 1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u \ = \ x$
[mm] $v_1 [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm] bzw. [mm] $v_2 [/mm] \ = \ [mm] \ln^2(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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