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Wir betrachten ein Rechteck der Seitenlängen a und b mit 2b ≥ a ≥ b. Welchen Flächeninhalt hat das Gebiet, welches genau jene Punkte im Inneren des Rechtecks enthält, die vom Mittelpunkt des Rechtecks einen kleineren Abstand haben als von der Umfangslinie des Rechtecks ?
Bem.: Die zusätzliche Bedingung 2b ≥ a habe ich noch eingefügt, damit man sich auf einen klar umrissenen "Fall" beschränken kann. Nach getaner Arbeit lässt sich diese Einschränkung allerdings auch leicht wieder überwinden.
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Ein Stück weit habe ich diese Aufgabe auch gestellt, um mich selber zu einigen Anstrengungen zu motivieren.
Bevor meine Ergebnisse wieder im Wust der Zettel verschwinden, die ich für das Problem schon vollgekritzelt habe, möchte ich doch ein paar Resultate bekanntgeben:
(1.) Man überlegt sich natürlich zuerst, dass das Lösungsgebiet eine Randkurve hat, welche aus vier Parabelstücken zusammengesetzt ist. Für die Behandlung im Detail wird es sich lohnen, sich mit den "Eckpunkten" dieser Randkurve zu befassen. Das sind jene Punkte, welche vom Rechtecksmittelpunkt und dessen Längs- und Breitseiten gleich weit entfernt liegen. Thema: Quadratische Gleichung.
(2.) Als Spezialfall schaut man sich vielleicht mal das Quadrat der Seitenlänge a=1 an. Für diesen Fall habe ich das Ergebnis ≈ 0.219 für den Inhalt des Lösungsgebiets erhalten, also 21.9% des Inhalts des gegebenen Quadrats.
(3.) Für den Schritt zum allgemeinen Fall ist es ev. nützlich, sich ein Beispiel mit "schönen" Zahlenwerten anzuschauen, bei welchem z.B. die "Eckpunkte" des Lösungsgebietes ganzzahlige Koordinaten bekommen. Man kann dann einiges numerisch besser überblicken. Für ein solches Beispiel habe ich bei Pythagoras angefragt und den Ratschlag a=50 und b=36 erhalten ....
(4.) Nachdem es mir gelungen war, die Koordinaten der besagten "Eckpunkte" durch Terme in a und b auszudrücken, war dann der Schritt zur Lösung nicht mehr allzu weit. Für das Rechteck mit a=50 und b=36 ergab sich numerisch der Flächeninhalt $\ 374 [mm] \frac{2}{3}$ [/mm] , was etwa 20.8 % des Rechtecks-Flächeninhalts entspricht.
(5.) Am Schluss versuchte ich noch, die Endformel in eine möglichst kurze Form zu bringen. Dabei zeigte es sich, dass es nützlich ist, für die Summe und das Produkt der gegebenen Rechtecksseiten a und b Abkürzungen zu definieren. Wenn wir $\ s:= a+b$ und $\ p:= a [mm] \cdot [/mm] b$ setzen, so lautet der Term für den Flächeninhalt des Lösungsgebietes so:
$\ A\ =\ [mm] \dfrac{s \cdot \sqrt{8\ p}\ -\ s^2\ -\, p}{3}$
[/mm]
(6.) Was genau geschieht, wenn das Rechteck mehr als doppelt so lang wie breit ist (also a > 2b), kann man sich zunächst an der Zeichnung klar machen. Das Lösungsgebiet ist dann linsenförmig (nicht mehr "viereckig", sondern nur noch "zweieckig"), und die Konsequenz für eine Lösungsformel ist eine einfache Fallunterscheidung.
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Vorbemerkung: Zwängt man einen Parabelteil so in ein Rechteck ein, dass der Scheitelpunkt eine Seitenmitte und die beiden Äste durch die Eckpunkte der gegenüberliegenden Seite gehen (sog. "Affenkasten"), so gilt: Die Fläche "innerhalb" des Parabelstückes beträgt 2/3 der Rechteckfläche.
Beweis: Das Rechteck habe die Höhe b und die Breite 2a. Wir schieben die Parabel mit dem Rechteck in ein Koordinatensystem, so dass der Scheitel auf (0|b) und die gegenüberliegenden Ecken auf (-a|0) bzw. (a|0) zu liegen kommen. Die dazu passende Funktionsgleichung ist dann
[mm] y=b-\bruch{b}{a^2}x^2.
[/mm]
Die rechte Hälfte (gelb) der gesuchten Fläche ist dann
[mm] \integral_{0}^{a}{b-\bruch{b}{a^2}x^2 dx}=bx-\bruch{b}{3a^2}x^3|_0^a=ab-\bruch{1}{3}ab=\bruch{2}{3}ab.
[/mm]
Das ist 2/3 der rechten Rechteckhälfte der Größe ab.
Dann ist natürlich die gesamte gesuchte Fläche ebenfalls 2/3 der gesamten Rechteckfläche.
Nun zur Aufgabe. Im Folgenden haben die Seitenlängen a und b des Rechtecks mit den obigen benutzten a und b nichts mehr zu tun.
Ich setze B=b/4 und A=a/4.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Bild zeigt das Rechteck mit b<a<2b. Sein Mittelpunkt wird in den Koordinatenursprung gelegt. Man betrachte zunächst die rote, nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (0|B). Sie hat die Gleichung
y = B - [mm] \bruch{1}{4B}x^2.
[/mm]
Für den Abstand s eines Punktes auf der Parabel vom Mittelpunkt gilt:
[mm] s^2=x^2+y^2=x^2+B^2+\bruch{1}{16B^2}x^4 -2B\bruch{1}{4B}x^2
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}x^2+B^2+\bruch{1}{16B^2}x^4 [/mm] =(B + [mm] \bruch{1}{4B}x^2)^2, [/mm] also
s=B + [mm] \bruch{1}{4B}x^2
[/mm]
Der Abstand zum oberen Rechteckrand beträgt 2B-y=2B-(B - [mm] \bruch{1}{4B}x^2)=B [/mm] + [mm] \bruch{1}{4B}x^2=s.
[/mm]
Die Punkte auf der roten Parabel haben also zum Mittelpunkt (0|0) denselben Abstand wie zum oberen Rand. Alle Punkte Unterhalb der roten Parabel erfüllen also die Bedingung bezüglich des oberen Randes.
Spiegelt man nun die Parabel an der x-Achse, so erfüllen alle Punkte aus Symmetriegründen die Bedingung bezüglich des unteren Randes, somit alle Punkte zwischen den beiden genannten Parabeln die Bedingung bezüglich des oberen und unteren Randes.
Analog bildet die rechte Parabel mit dem Scheitelpunkt (A|0) die Grenze bezüglich des rechten Randes und ihr an der y-Achse gespiegeltes Bild bezüglich des linken Randes. Die Gesuchte Fläche befindet sich also zwischen diesen 4 Parabeln und ist 4-mal so groß wie die Summe der drei gefärbten Flächen.
Um diese Fläche zu bestimmen, benötigt man den Schnittpunkt P der oberen und der rechten Parabel. Weil P auf beiden Parabeln liegt und vom Ursprung den Abstand s hat, muss P nach oben Gesagtem gleichzeitig s vom oberen und s vom rechten Rand entfernt sein, also auf der aus der rechten oberen Ecke (2A|2B) kommenden Winkelhalbierenden liegen. Diese hat die Gleichung
y=x+2B-2A.
Wir bestimmen den Schnittpunkt zwischen der roten Parabel und dieser Geraden durch Gleichsetzen:
y=x+2B-2A=B - [mm] \bruch{1}{4B}x^2 [/mm] |*4B
[mm] x^2+4Bx+4B^2-8AB=0
[/mm]
[mm] x=-2B+\wurzel{8AB} [/mm] sowie [mm] y=x+2B-2A=-2A+\wurzel{8AB}
[/mm]
(Man sieht auch hier die algebraische Symmetrie bei x und y, wenn man in einer Gleichung x mit y und A mit B vertauscht, erhält man die andere Gleichung.)
Nun lässt sich 1/4 der gesuchten Fläche, das sich im I. Quadranten befindet, leicht bestimmen:
graue Fläche: [mm] x*y=(-2B+\wurzel{8AB})*(-2A+\wurzel{8AB})=4AB+8AB-2(A+B)\wurzel{8AB}=12AB-2(A+B)\wurzel{8AB}
[/mm]
gelbe Fläche (halber Affenkasten): [mm] 2/3*x*(B-y)=2/3*(-2B+\wurzel{8AB})*(B+2A-\wurzel{8AB})=2/3(-2B^2-4AB+2B\wurzel{8AB}+B\wurzel{8AB}+2A\wurzel{8AB}-8AB)=2/3(-2B^2-12AB+(3B+2A)\wurzel{8AB}))
[/mm]
Grüne Fläche (halber Affenkasten): [mm] 2/3(A-x)y=2/3(A+2B-\wurzel{8AB})(-2A+\wurzel{8AB})=2/3(-2A^2+A\wurzel{8AB}-2AB+2B\wurzel{8AB}+2A\wurzel{8AB}-8AB)=2/3(-2A^2-12AB+(3A+2B)\wurzel{8AB}))
[/mm]
Zusammengerechnet ergeben die 3 Flächen:
[mm] 1/3*(-12AB+4(A+B)\wurzel{8AB}-4A^2-4B^2), [/mm] das ist 1/4 der gesuchten Fläche. Diese hat dann den Inhalt
[mm] 1/3*(-48AB+16(A+B)\wurzel{8AB}-16A^2-16B^2)=
[/mm]
[mm] 1/3*(-3(4A4B)+(4A+4B)\wurzel{8*4A4B}-(4A)^2-(4B)^2)=
[/mm]
[mm] 1/3*(-3(ab)+(a+b)\wurzel{8*ab}-a^2-b^2)=
[/mm]
[mm] 1/3*(-ab+(a+b)\wurzel{8*ab}-(a^2+2ab+b^2))=
[/mm]
[mm] 1/3*(-p+s\wurzel{8*p}-s^2)
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Die beiden Parabeln für die obere und untee Seite der Länge a schneiden sich auf der x-Achse bei x=-2B und x=2B. Sie bilden zusammen eine Art Linse. Für a>2b wandern die beiden seitlichen Parabeln aus dieser Linse heraus, daher wird die gesuchte Fläche nur noch von der Linse umrandet.
Zieht man um die Linse einen Affenkäfig, so ist dieser 4B breit und 2 B hoch, hat also den Flächeninhalt [mm] 8B^2. [/mm] Die Linse nimmt davon 2/3 ein, aomit ist der gesuchte Flächeninhalt 16/3 [mm] B^2 [/mm] oder [mm] 1/3(4B)^2=(1/3)b^2.
[/mm]
Eine zweite Überlegung führt so zu diesem Ergebnis:
Für a>2b ist der Flächeninhalt genau so groß wie für a=2b. Hiefür können wir aber noch (grenzwertig) das Ergebnis aus der ersten Rechnung benutzen mit a=2b:
[mm] 1/3(-p+s\wurzel{8p}-s^2)=1/3(-2b^2+3b\wurzel{16b^2}-9b^2)=(1/3) b^2.
[/mm]
Dateianhänge:
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Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo HJK
Herzlichen Dank für die ausführlichen Darstellungen !
Al-Chwarizmi
Im Moment bin ich noch daran, mir das Ganze in der dreidimensionalen Welt zu überlegen, und zwar am einfachsten Fall des Würfels:
Welches Volumen hat die Teilmenge jener Punkte im Inneren des Würfels der Kantenlänge a, welche näher am Würfelmittelpunkt als an der Oberfläche des Würfels liegen ?
Geometrische Beschreibung praktisch analog - aber dann komme ich auf eine Integration (für die Volumenberechnung), die mir noch Mühe macht ....
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Tipp: Mach es gleich n-dimensional. Dann musst du nur auf n=3 vereinfachen...
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Tipp: Mach es gleich n-dimensional. Dann musst du
nur auf n=3 vereinfachen...
Ach ja, herzlichen Dank für den Ratschlag - darauf wäre ich
jetzt nicht gleich gekommen.
ABER:
Ich glaube, dass ich jetzt für den Würfel doch zum Ergebnis
gekommen bin. Nach einem wirklichen Kampf mit meinen
eigenen Flüchtigkeits- und Unaufmerksamkeitsfehlern sowie
mit meinem CAS-Rechner und Wolfram Alpha bin ich jetzt zu
folgendem Ergebnis gekommen:
$\ V\ =\ [mm] \frac{\pi + 5}{4}\ [/mm] -\ [mm] \frac{9}{8}\,\sqrt{3}\ [/mm] \ [mm] \approx\ [/mm] 0.086841$
Jetzt wäre ich sehr, sehr dankbar, wenn jemand unter euch
dies kontrollieren könnte !
Als (partiellen) Test auf die Richtigkeit des Resultates sehe ich
noch die Möglichkeit, mittels einer Monte-Carlo-Simulation
(z.B. mit 10 Millionen im Würfel verstreuten Zufallspunkten)
wenigstens so 3 oder 4 signifikante Dezimalstellen zu repro-
duzieren. Dazu werde ich wohl wieder mal ein Pascal-Programm
erstellen ...
Liebe Grüße an alle, die hier reingucken (und ev. selber die
Integration versuchen wollen).
Al-Chwarizmi
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Ein erster kleiner Monte-Carlo-Versuch stimmt mich zuversichtlich:
Mit nur 10000 Zufallspunkten im Einheitswürfel kam ich auf eine geschätzte Wahrscheinlichkeit von 0.0866 . Berechnung mittels eines simplen TI-Basic Programms auf meinem (für heutige Begriffe nicht mehr gar so schnellen) TI Voyage 200 .
Al-Chw.
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Hallo Al,
ich bin zum selben Ergebnis gekommen und habe aus Spaß auch noch eine Pascal-Simulation geschrieben. Nach jeweils 1 Mio. "Würfen" ergaben sich die Zahlen 0,08688, 0,08710, 0,08672 und 0,08653.
Mein Vorgehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Einteilung des Würfels in 6 kongruente Pyramiden. Betrachtet man nun alle Punkte in der oberen kopfstehenden Pyramide, so ist die ihnen am nächsten kommende Randfläche immer nur die Decke oben, so dass man sich nicht mehr um andere Ränder kümmern muss.
Für den Abstand S eines Punktes (x|y|z) vom Mittelpunkt ergibt sich
[mm] S^2=x^2+y^2+z^2. [/mm]
Für alle Punkte, die auf der oberen Begrenzung des erlaubten Bereiches liegen (gelbe Fläche), gilt außerdem:
S=0,5-z und damit [mm] S^2=0,25-z+z^2. [/mm] daraus folgt für diese Punkte die Gleichung
[mm] z=0,25-x^2-y^2.
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für den Punkt E auf der Raumdiagonale und der gelben Fläche gilt:
E(z|z|z) und [mm] S=z\wurzel{3} [/mm] und damit [mm] S=0,5-z=z\wurzel{3} \Rightarrow z=\bruch{0,5}{\wurzel{3}+1}=0,25(\wurzel{3}-1).
[/mm]
Diesen Wert werde ich (neben dem Punkt E) ebenfalls mit E bezeichnen.
Der Punkt H hat die Koordinaten (z|0|z), für ihn ist [mm] S=z\wurzel{2} [/mm] und dies ist wiederum 0,5-z
[mm] \Rightarrow z=\bruch{0,5}{\wurzel{2}+1}=0,5(\wurzel{2}-1).
[/mm]
Diesen Wert werde ich (neben dem Punkt H) ebenfalls mit H bezeichnen.
Um auch von der Pyramide nur eine Grenzfläche betrachten zu müssen, schneide ich nun 1/8 der Pyramide aus.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aus Symmetriegründen bleibt das Verhältnis des erlaubten Volumens zu diesem Pyramidenstück erhalten.
Nun suche ich auf der von der gelben Randfläche erzeugten Projektion auf die x-y-Ebene an der Stelle (x|y) ein Flächenstückchen dxdy aus und bestimme das Volumen des darüberliegenden erlaubten Bereiches.
Bis zum gelben Dach ist die Höhe [mm] z=0,25-x^2-y^2. [/mm] Hiervon muss der Teil abgezogen werden, der unterhalb der schrägen Pyramidenseitenfläche liegt. da diese (wegen des Ausschneidens) nur in x-Richtung verläuft, ist diese Höhe gleich x (für die Schräge ist x=z), und somit hat der "Faden" über dxdy die Länge [mm] h=0,25-x^2-y^2-x.
[/mm]
Damit ist das Volumen [mm] dV=(0,25-x^2-y^2-x)dydx.
[/mm]
Jetzt muss noch die Projektionsfläche ermittelt werden, die sich unter der gelben Deckfläche befindet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sie wird berandet von der x-Achst, von der Achse x=y und von einer Kurve mit der Funktionsgleichung y=f(x).
Da die Randkurve an der Pyramidenfläche auf dieser liegt, hat jeder Punkt auf ihr die Koordinaten (x|y|x), und da sie auf der gelben Fläche liegt, die Koordinaten [mm] (x|y|0,25-x^2-y^2), [/mm] woraus sich ergibt: [mm] x=0,25-x^2-y^2 [/mm] bzw.
[mm] y=f(x)=\wurzel{0,25-x^2-x}
[/mm]
Über die orangefarbene Fläche lässt sich nun leicht integrieren:
[mm] V_1=\integral_{0}^{E}{\integral_{0}^{x}{(0,25-x^2-y^2-x)dy} dx}=\integral_{0}^{E}{(16x^3+12x^2-3x)/12 dx} [/mm] = [mm] \bruch{9-5\wurzel{3}}{192}.
[/mm]
Für die graue Fläche erhält man
[mm] V_2=\integral_{E}^{H}{\integral_{0}^{f(x)}{(0,25-x^2-y^2-x)dy} dx}=\integral_{E}^{H}{(1-4x^2-4x)^{1,5}/12 dx} [/mm] = [mm] \bruch{2\pi+\wurzel{3}-8}{384}.
[/mm]
[mm] V=V_1+V_2=\bruch{2\pi-9\wurzel{3}+10}{384}.
[/mm]
Der Pyramidenteil beträgt 1/8 von 1/6 von 1, also 1/48.
Damit ist der Anteil [mm] V/(1/48)=\bruch{2\pi-9\wurzel{3}+10}{8}.
[/mm]
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Vielleicht kannst du mir mal deinen Rechenweg schildern...
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Hallo HJK,
zuerst herzlichen Dank für deine Ausführungen.
Bezüglich der Einteilung des Würfels für die Integration bin ich ganz genau gleich vorgegangen: Zunächst den Würfel in 6 kongruente Pyramiden aufteilen und dann jede einzelne davon in 8 Teilpyramiden.
Die Volumenelemente für die Integration habe ich mir auch pyramidenförmig gedacht, wobei die Spitzen aller dieser infinitesimal dünnen Pyramidchen sich im Mittelpunkt M des Würfels treffen und deren Grundflächen sich auf der paraboloidförmigen Grenzfläche befinden. Ich betrachtete dann eine Strecke MG vom Würfelmittelpunkt M(0|0|0) zu einem Punkt G(x,y,-0.5) in der Grundfläche z=-0.5 des Grundquadrates. Die Strecke MG wird von der entsprechenden Paraboloidfläche P: $\ z = [mm] -0.25+x^2+y^2 [/mm] $ in einem Teilverhältnis
t:(1-t) mit einem Faktor t zwischen 0 und 1 geteilt. Für diesen Faktor t ergibt sich
$\ t\ =\ [mm] \frac{\sqrt{1+4r^2}-1}{4 r^2}\ [/mm] \ [mm] ,\qquad \mtext{wobei}\qquad r^2=x^2+y^2$ [/mm]
Das Volumen eines solchen Pyramidchens ergibt sich dann als
(Volumen des bis zur Würfeloberfläche reichenden Pyramidchens) * $\ [mm] t^3$
[/mm]
Auf diesem Weg kam ich dann für das gesuchte Volumen V zur Darstellung:
$\ V\ =\ [mm] \frac{1}{8}\, \cdot\ \int_{\varphi = 0}^{\pi/4}\ d\varphi \int_{r=0}^{\frac{1}{2\ cos(\varphi)}}\ [/mm] dr [mm] \cdot [/mm] r [mm] \cdot \left( \frac{\sqrt{1 + 4 r^2 }-1}{r^2} \right)^3$
[/mm]
Wie man sieht, habe ich dann für einen Schritt auch noch zu Polarkoordinaten gegriffen.
Die Durchführung wurde dann aber doch recht schwierig, wobei ich auch CAS-Hilfe beanspruchte.
Nebenbei: ich habe dieses Problem auch im "matheboard.de" eingebracht.
(https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=596109)
Obige Formel mittels einer weiteren Substitution noch etwas umgeformt:
$\ V\ =\ [mm] 2\, \int_{\varphi = 0}^{\pi/4}\ d\varphi \int_{r=0}^{\frac{1}{cos(\varphi)}}\ [/mm] dr [mm] \cdot [/mm] r [mm] \cdot \left( \frac{\sqrt{1 + r^2 }-1}{r^2} \right)^3$
[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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Das mit den Pyramiden ist mir auch sofort eingefallen, aber auf die Idee, das von dir eingeführte t zu benutzen, bin ich nicht gekommen. Ich wollte dann über die beiden Winkel - von links nach rechts mit -45° und 45 ° - und von vorn nach hinten ebenso integrieren. Mir fehlte aber die Idee, aus der Richtung die Länge von der Pyramidenspitze zur Kuppelfläche zu bestimmen.
Jetzt habe ich nochmal deine Idee verfolgt, aber
[mm] \integral_{-1/2}^{1/2}\integral_{-1/2}^{1/2}{(\bruch{\wurzel{1+4x^2+4y^2}}{4x^2+4y^2})^3 dx dy} [/mm] genommen, weil mir das eingefallen wäre, wenn ich die Idee mit dem t gehabt hätte.
Das Programm DERIVE6 bekam einen katastrophalen Ausdruck heraus, der auch noch Integrale enthielt, aber keine Zahlenlösung.
Bei deiner Darstellung mit r und [mm] \varphi [/mm] klappte es dann aber sofort und richtig.
Der "Tipp" mit den n Dimensionen stammt von einem Witz, dessen Pointe jetzt natürlich nicht mehr zündet:
Bei einem Vortrag über den 4-dimensionalen Raum sitzen ein Mathematiker und ein Ingenieur nebeneinander. Der Ingenieur schwitzt vor sich hin, der Mathematiker ist völlig entspannt. In der Pause fragt ihn der Ingenieur: "Verstehen Sie das alles?" "Ja klar." "Wie machen Sie das nur?" "Ich stelle mir das Ganze im n-dimensionalen Raum vor und vereinfache dann auf n=4."
In diesem Sinne alles Gute
HJK
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Die Durchführung der Integrale gelang mir auch in Polarkoordinaten
erst mit CAS-Hilfe und Wolfram Alpha. Dass es sinnvoll sein könnte,
zu Polarkoordinaten zu greifen, dachte ich mir wegen des Auftretens
von $\ [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] im Integranden.
Nächstens treffe ich mich auch wieder mal mit Ingenieuren (3 an der
Zahl), nämlich meinen Brüdern, da die Corona-Situation ein Treffen
wieder zulässt. Natürlich werde ich auch versuchen, ihnen bei einem
feinen Essen so nebenbei diese Volumenberechnung schmackhaft zu
machen. Ich liebe Aufgaben, die anschaulich und einfach zu stellen
sind und dann auf mathematisch interessante Fragen führen.
Gerade hörte ich von einer verblüffenden Frage dieser Sorte aus der
Zahlentheorie:
Bestimme die kleinsten natürlichen Zahlen für a, b und c , für welche
$\ [mm] \frac{a}{b+c} [/mm] + [mm] \frac{b}{a+c}+ \frac{c}{a+b}\ [/mm] =\ 4$
Für eine Diskussion hier in diesem Forum ist die Aufgabe allerdings
um etliche Nummern zu groß ...
LG , Al-Chwarizmi
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