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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Do 02.11.2006 | | Autor: | Petite |
| Aufgabe | [mm] C_{t} [/mm] und [mm] K_{t} [/mm] schneiden sich auf der x-Achse und begrenzen eine Fläche mit den Inhalt A(t).
Berechne A(t). |
Eigentlich ist die Aufgabe ja nicht so schwer, jedoch glaube, dass mir ein Fehler bei der Berechung unterlaufen ist.
Daher danke für jeden der mir sagt, wo bei meiner Berechngung ein Fehler liegen könnte.
[mm] C_{t} [/mm] ist mit [mm] f_{t}(x)=t(x-x^{2}) [/mm] und
[mm] K_{t} [/mm] ist mit [mm] g_{t}(x)=\bruch{1}{t}+t)x^{3}-(2t+\bruch{1}{t})9x^{2}+tx
[/mm]
Als erstes berechne ich die Schnittstellen, der beiden Graphen:
[mm] f_{t}(x)=g_{t}
[/mm]
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] x_{2}=1
[/mm]
Die Integtralberechnung:
[mm] A(t)=\integral_{0}^{1}{(f_{t}(x)-g_{t}(x)) dx}
[/mm]
[mm] A(t)=\integral_{0}^{1}{(t(x-x^{2})-(\bruch{1}{t}+t)x^{3}+(2t+\bruch{1}{t})x^{2}-tx)dx}
[/mm]
[mm] A(t)=t(\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{3}x^{3})-\bruch{1}{4}(\bruch{1}{t}+t)x^{4}+\bruch{1}{3}(2t+\bruch{1}{t})x^{3}-\bruch{1}{2}tx^{2} |_{0}^{1}
[/mm]
[mm] A(t)=(t+\bruch{1}{t})(\bruch{1}{3}x^{3}-\bruch{1}{4}x^{4}) |_{0}^{1}
[/mm]
[mm] A(t)=\bruch{1}{12}(t+\bruch{1}{t})FE
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Do 02.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]C_{t}[/mm] und [mm]K_{t}[/mm] schneiden sich auf der x-Achse und
> begrenzen eine Fläche mit den Inhalt A(t).
> Berechne A(t).
> Eigentlich ist die Aufgabe ja nicht so schwer, jedoch
> glaube, dass mir ein Fehler bei der Berechung unterlaufen
> ist.
> Daher danke für jeden der mir sagt, wo bei meiner
> Berechngung ein Fehler liegen könnte.
> [mm]C_{t}[/mm] ist mit [mm]f_{t}(x)=t(x-x^{2})[/mm] und
> [mm]K_{t}[/mm] ist mit
> [mm]g_{t}(x)=\bruch{1}{t}+t)x^{3}-(2t+\bruch{1}{t})9x^{2}+tx[/mm]
>
> Als erstes berechne ich die Schnittstellen, der beiden
> Graphen:
> [mm]f_{t}(x)=g_{t}[/mm]
Bis hierhin ist es okay, aber die Schnittstellen sind falsch.
[mm] t(x-x²)=(\bruch{1}{t}+t)x³-(2t+\bruch{1}{t})9x²+tx
[/mm]
[mm] \gdw 0=(\bruch{1}{t}+t)x³-(2t+\bruch{1}{t})9x²+tx²+tx-tx
[/mm]
[mm] \gdw 0=(\bruch{1}{t}+t)x³-(9t+\bruch{9}{t})x²
[/mm]
[mm] \gdw 0=x²((\bruch{1}{t}+t)x-(9t+\bruch{9}{t}))
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=0
[/mm]
und [mm] (\bruch{1}{t}+t)x-(9t+\bruch{9}{t})=0
[/mm]
[mm] \gdw(\bruch{1}{t}+t)x=(9t+\bruch{9}{t})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (1+t²)x=(9t²+9)
[mm] \Rightarrow x_{3}=\bruch{9(t²+1)}{1+t²}=9
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 02.11.2006 | | Autor: | Petite |
Entschuldigung M.Rex,
trotzdem danke, dass du dir die Mühe gemacht hast mir die Schnittstellen auszurechen.
Leider habe ich gerade einen Fehler beim Formeltippen gefunden:
[mm] g_{t}(x)=\bruch{1}{t}+t)x^{3}-(2t+\bruch{1}{t})x^{2}+tx
[/mm]
Folgend muss ich mir deine 9 in eine 1 umwandeln und ich bleibe bei den Schnittstellen [mm] x_{1/2}=0 [/mm] und [mm] x_{3}=1
[/mm]
Kann jemand nochmal nach den Rest sehen, den ich so am Anfang fabriziert habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Do 02.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
Form doch innerhalb des Integrales erst ein wenig um, dann wirds leichter.
[mm] A(t)=\integral_{0}^{1}{(t(x-x^{2})-(\bruch{1}{t}+t)x^{3}+(2t+\bruch{1}{t})x^{2}-tx)dx} [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{(tx-tx^{2}-(\bruch{1}{t}+t)x^{3}+(2t+\bruch{1}{t})x^{2}-tx)dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{-(\bruch{1}{t}+t)x^{3}+(t+\bruch{1}{t})x^{2})dx}
[/mm]
[mm] =\left[-\bruch{(\bruch{1}{t}+t)}{4}x^{4}+(\bruch{(t+\bruch{1}{t})}{3}x³\right]_{0}^{1}
[/mm]
[mm] =\left[-(\bruch{1}{4t}+\bruch{t}{4})x^{4}+(\bruch{t}{3}+\bruch{1}{3t})x³\right]_{0}^{1}
[/mm]
[mm] =-(\bruch{1}{4t}+\bruch{t}{4}+\bruch{t}{3}+\bruch{1}{3t})
[/mm]
[mm] =\bruch{-3t-3+4t+4}{12t}
[/mm]
[mm] =\bruch{t+1}{12t}
[/mm]
Marius
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