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Hi!
Ich hab da ein Problem eine Parametrisierung zur Flächenberechnung zu finden. Die Aufgabe lautet:
Sei M die Teilfläche der Mantelfläche des Kegels [mm] x^2 + y^2 = z^2 [/mm] die zwischen der Ebene [mm] Z = 0 [/mm] und [mm] x + 2z = 3 [/mm] liegt. Berechne den Flächeninhalt von M.
Das ganze sieht in etwa wie eine Pommestüte aus und bis zur dem Teil, wo Kegel und Ebene sich schneiden, kann man das ja auch mit einer ganz einfachen Parametrisierung mittels sin und cos ausdrücken. Der andere Teil bereitet mir allerdings schon 2 Tage Kopfschmerzen *g*
Danke schonmal!
MFG Rene
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Hallo macnesium,
> Sei M die Teilfläche der Mantelfläche des Kegels [mm]x^2 + y^2 = z^2[/mm]
> die zwischen der Ebene [mm]Z = 0[/mm] und [mm]x + 2z = 3[/mm] liegt. Berechne
> den Flächeninhalt von M.
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> Das ganze sieht in etwa wie eine Pommestüte aus und bis zur
> dem Teil, wo Kegel und Ebene sich schneiden, kann man das
> ja auch mit einer ganz einfachen Parametrisierung mittels
> sin und cos ausdrücken. Der andere Teil bereitet mir
> allerdings schon 2 Tage Kopfschmerzen *g*
Ich nehme an, bei dem Teil handelt es sich um den Schnitt von Ebene und Kegel.
Nun, Du hast ja die Polarkoordinatendarstellung:
[mm]\begin{gathered}
x\; = \;r\;\cos \;\varphi \hfill \\
y\; = \;r\;\sin \;\varphi \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann folgt:
[mm]z\; = \;\sqrt {x^{2} \; + \;y^{2} } \; = r[/mm]
Diese Formeln setzt Du nun in die Ebenengleichung ein:
[mm]\begin{gathered}
x\; + \;2\;z\; = \;3 \hfill \\
\Leftrightarrow \;r\;\cos \;\varphi \; + \;2\;r\; = \;3 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Umgestellt nach [mm]\varphi[/mm]:
[mm]\varphi \; = \;\arccos \;\left( {\frac{3}
{r}\; - \;2} \right)[/mm]
Das zu integrieren ist jetzt kein Problem mehr.
Für die Grenzen mußt Du beachten, daß der Klammerausdruck betragsmäßig nicht größer als 2 werden darf.
Gruß
MathePower
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