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hallo liebe Forumfreunde,leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure hilfe.
Aufgabe:
Die Figur ABCD wird durch die Affinität zu [mm] \vec{x}'= \pmat{ -3 & 5 \\ 2 & -4 }*\vec{x} [/mm] + [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] abgebildet.
Wie groß ist der Flächeninhalt von ABCD und von A'B'C'D' ?
a) A (3 / 2) ; B (-1 / 2) ; C (-3 / -1) ; D (-1 / -1) .
Leider fehlt mir jeglicher Ansatz.Würd mich über jede hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Fr 25.09.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo Danyal,
> Die Figur ABCD wird durch die Affinität zu [mm]\vec{x}'= \pmat{ -3 & 5 \\ 2 & -4 }*\vec{x}[/mm]
> + [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] abgebildet.
Ein Verschiebungsvektor ändert offenbar nichts an der Fläche. Entscheidend ist also die Abbildungsmatrix.
Ihre Determinante gibt das Verhältnis der Flächeninhalte von Urbild-Figur und Bildfigur an. Ein evtl. negatives Vorzeichen bedeutet dabei einfach nur eine "gegensinnige" Abbildung. Anschaulich: Du schaust die Figur von hinten durch das Blatt Papier an 
> Wie groß ist der Flächeninhalt von ABCD und von A'B'C'D'
> ?
>
> a) A (3 / 2) ; B (-1 / 2) ; C (-3 / -1) ; D (-1 / -1) .
Zeichne die Figur im Koordinatensystem und unterteile sie - falls notwendig - in Dreiecke.
LG
Will
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Erstmal vielen Dank für die schnelle hilfe,leider leuchtets mir nicht so ein.
> Hallo Danyal,
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> > Die Figur ABCD wird durch die Affinität zu [mm]\vec{x}'= \pmat{ -3 & 5 \\ 2 & -4 }*\vec{x}[/mm]
> > + [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] abgebildet.
>
> Ein Verschiebungsvektor ändert offenbar nichts an der
> Fläche. Entscheidend ist also die Abbildungsmatrix.
> Ihre Determinante gibt das Verhältnis der Flächeninhalte
> von Urbild-Figur und Bildfigur an. Ein evtl. negatives
> Vorzeichen bedeutet dabei einfach nur eine "gegensinnige"
> Abbildung. Anschaulich: Du schaust die Figur von hinten
> durch das Blatt Papier an
Ich meine,gibt es keinen rechnerischen Weg,also mit Formel und ohne Zeichungen?
Würd mich über jede hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus
MfG
Danyal
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> > Wie groß ist der Flächeninhalt von ABCD und von A'B'C'D'
> > ?
> >
> > a) A (3 / 2) ; B (-1 / 2) ; C (-3 / -1) ; D (-1 / -1) .
>
> Zeichne die Figur im Koordinatensystem und unterteile sie -
> falls notwendig - in Dreiecke.
>
> LG
> Will
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> > > Wie groß ist der Flächeninhalt von ABCD ?
> > > a) A (3 / 2) ; B (-1 / 2) ; C (-3 / -1) ; D (-1 / -1) .
> > Zeichne die Figur im Koordinatensystem und unterteile sie -
> > falls notwendig - in Dreiecke.
> Erstmal vielen Dank für die schnelle hilfe,leider
> leuchtets mir nicht so ein.
> Ich meine,gibt es keinen rechnerischen Weg, also mit Formel
> und ohne Zeichungen?
Hallo Danyal
leuchten dir denn rein formelmässige Lösungen besser
ein als geometrisch anschauliche ?
Achtest du bei geometrischen (und anderen) Formeln
wirklich auch darauf, dass du sie verstanden hast ?
Für den Flächeninhalt eines ebenen Vielecks mit den
Eckpunkten [mm] E_1(x_1/y_1), E_2(x_2/y_2), [/mm] ..... [mm] E_n(x_n/y_n)
[/mm]
und ohne Selbstüberkreuzungen könnte man tatsächlich
eine Formel aufstellen. Für deren Herleitung müsste
man aber zuallererst auch etwas Geometrie aufbieten.
LG Al-Chw.
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hallo und vielen Dank für die hilfe
ich habe in meiner Mappe nachgeguckt und folgendes gefunden:
Für den Flächeninhalt einer beliebigen Figur F gilt
A(F')= [mm] \left| \vmat{A} \right| [/mm] * A(F).
Was heißt das jetzt genau für diese Aufgabe,also wie muss man hier rangehen?
Die Figur ABCD wird durch die Affinität zu [mm] \vec{x}'= \pmat{ -3 & 5 \\ 2 & -4 }*\vec{x} [/mm] + [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] abgebildet.
Wie groß ist der Flächeninhalt von ABCD und von A'B'C'D' ?
a) A (3 / 2) ; B (-1 / 2) ; C (-3 / -1) ; D (-1 / -1) .
Bin folgendermaßen nun vorgegangen:
In 2 Dreiecke eingeteilt und A ausgerechnet:A=9 FE
Die Determinante beträgt 2
Ist dann der A von F' =2*9=18 FE ??
Würd mich über jede hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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Hallo Danyal,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
alles richtig. Das Viereck ABCD ist übrigens ein Trapez.
Wenn du etwas Zeit hast und wissen möchtest, wieviel
einfacher die Rechnung via Determinante ist, berechnest
du vielleicht mal die Eckpunkte A',B',C',D', zeichnest
das neue Viereck und berechnest dessen Flächeninhalt
wieder geometrisch ...
Gruß Al-Chw.
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Vielen Dank für die hilfe
Eine Frage habe ich noch: Wie könnte man denn noch auf die 9 FE kommen,also rein rechnerisch? In meiner Mappe steht folgende Formel:
Das von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] A aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt [mm] A(\vec{a},\vec{b})= \left| \vmat{\vec{a},\vec{b}} \right| [/mm] . Wie ist diese Formel anzuwenden?
Und wie kann man die Bildpunkte ausrechnen,also mit einsetzen,aber irgendwie schaffe ich das nicht.Würd mich freuen wenn du mir das für einen Punkt zeigen könntest.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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> Vielen Dank für die hilfe
>
> Eine Frage habe ich noch: Wie könnte man denn noch auf die
> 9 FE kommen,also rein rechnerisch?
> Also wir hatten das bei der analytischen Geometrie so
> gemacht,dass wir das Kreuzprodukt von Vektor a und Vektor b
> gebildet haben,und dann den betrag davon=A. Wieso klappt
> das hier nicht?
Die Formel [mm] A=|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PS}|
[/mm]
liefert den Flächeninhalt des Parallelogramms PQRS. Im vor-
liegenden Fall hast du aber kein Parallelogramm, sondern
ein Trapez.
> Und wie kann man die Bildpunkte ausrechnen,also mit
> einsetzen,aber irgendwie schaffe ich das nicht.Würd mich
> freuen wenn du mir das für einen Punkt zeigen könntest.
Wenn ihr mit Matrizen rechnet, ist dies eigentlich eine
Grundaufgabe ...
Beispiel mit dem Punkt A(3/2), [mm] $\overrightarrow{A}=\pmat{3\\2}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{A'}=\pmat{-3&5\\2&-4}*\pmat{3\\2}+\pmat{-1\\1}$
[/mm]
$\ =\ [mm] \pmat{-3*3+5*2\\2*3-4*2}+\pmat{-1\\1}\ [/mm] =\ .........$
LG
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Vielen Dank für die hilfe:
In meiner Mappe steht folgende Formel:
Das von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] A aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt [mm] A(\vec{a},\vec{b})= \left| \vmat{\vec{a},\vec{b}} \right| [/mm] . Wie ist diese Formel anzuwenden?
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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> Vielen Dank für die hilfe:
>
> In meiner Mappe steht folgende Formel:
> Das von den Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] aufgespannte
> Parallelogramm hat den Flächeninhalt [mm]A(\vec{a},\vec{b})= \left| \vmat{\vec{a},\vec{b}} \right|[/mm]
> . Wie ist diese Formel anzuwenden?
>
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Danyal
Hallo Danyal,
Das ist eine Formel für Vektoren in der x-y-Ebene.
Sie ist verwandt mit der entsprechenden Formel
mit dem Vektorprodukt im Raum [mm] \IR^3.
[/mm]
Beispiel:
[mm] $\vec{a}=\pmat{4\\1}\qquad\vec{b}=\pmat{2\\5}$
[/mm]
$\ A\ =\ [mm] \left| \vmat{4&2\\1&5}\right|\ [/mm] =\ |4*5-2*1|\ =\ 18$
Die inneren Vertikalstriche stehen für die Determinante,
die äußeren für den Absolutbetrag.
Gruß
Al-Chw.
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Hallo,
wie man an den Koordinaten sehen kann, hat die Ausgangsfigur eine Form, deren Flächeninhalt leicht zu berechnen ist.
Gruß, MatheOldie
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