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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f durch f(x)= x + [mm] e^{-x}. [/mm]
a) Untersuchen Sie das Schaubild auf Extrem- und Wendestellen sowie Asymptoten.
b) Das Schaubild von f, die Asymptote und die y-Achse begerenzen eine (ins Unendliche reichende9 Fläche. Untersuchen Sie, ob diese einen endlichen Flächeninhalt hat. |
Hallo Matheforum!
Bin gerade am Rechnen dieser Aufgabe.
a) habe ich schon erledigt:
Extremstelle bei x=0 (und zwar ein Minimum M(0|1)).
keine Wendestellen
Keine senkrechte oder waagrechte Asymptoten, aber eine schiefe Asymptote (y=x).
Jetzt habe ich aber ein Problem beim Lösen der Teilaufgabe b):
Mein bisheriger "Rechenweg"/ meine Überlegungen sehen so aus:
[mm] \integral_{0}^{a}{(x+\bruch{e}{x})-x dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{a}{\bruch{e}{x} dx} [/mm] = [e*ln(x)]b,0 = e*ln(b)-e*ln(0)
Jetzt ist es doch so, dass e*ln(0) keine Lösung hat. Wie behandle ich das Ganze dann?
Stünde dort etwas anderes, hätte ich geschrieben:
Für [mm] a->+\infty [/mm] strebt xy gegen blablabla …
bzw. hat xy keinen Grenzwert und damit hat die Fläche keinen endlichen Flächeninhalt.
Wie mache ich das aber mit e*ln(b)-e*ln(0) ?
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
LG Eli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 So 06.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Elisabeth!
Du hast hier falsch umgeformt, da [mm] $e^{-x} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \bruch{e}{x}$ [/mm] !
Die Stammfunktion zu [mm] $e^{-x}$ [/mm] lautet [mm] $-e^{-x}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
danke für die Hilfe!
Die schiefe Asymptote y=x ist ja dennoch richtig, oder?
Damit ist die Stammfunktion [mm] -e^{-a}+e^{0}= -e^{-a}+1
[/mm]
F+r [mm] a->+\infty [/mm] strebt [mm] -e^{-a}+1 [/mm] gegen 1.
Der Inhalt der gesuchten, ins Unendlich recihende Fläche ist damit 1.
Richtig?
LG Eli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 So 06.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eli!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Allet chic!
Gruß
Loddar
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