Flächeninhalt eines Dreiecks < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Sa 16.04.2005 | | Autor: | cYrUz86 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe folgendes Problem bei der analytischen Geometrie (Vektorrechnungen):
Aufgabenstellung: Geben Sie zwei verschiedene Methoden zur Bestimmung des Flächeninhalts eines beliebigen Dreickes an.
Ein Dreieck wäre beispielsweise durch die Punkte A(0/4/0), B(0/2/6) und C(-2/2/6). Da ich allgemeine Methoden suche, darf nicht von einem rechtwinkligen Dreieck ausgegangen werden.
Aus der Geometrie kenne ich die Formel 1/2 * g * h für den Flächeninhalt von Dreiecken. Übertragen auf mein Problem wäre das also 1/2 * [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] * [mm] \vec{h}
[/mm]
Ich suche jetzt die Höhe h. Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich die bestimmen kann? Ich kenne nur die Bedingung, die [mm] \vec{h} [/mm] erfüllen muss, unzwar [mm] \vec{h} [/mm] * [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = 0 . Um das noch ein wenig weiter aufzuschlüsseln, lässt sich [mm] \vec{h} [/mm] auch als Strecke von einem Punkt der Strecke AB zu C schreiben, also [mm] \vec{h} [/mm] = [mm] \overrightarrow{CD}, [/mm] wobei der Punkt D [mm] \in \overline{AB}.
[/mm]
Letztlich bekomme ich folgendes Ergebnis ( [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \vektor{d1 \\ d2 \\ d3}): [/mm] d1+d2-3d3 = 20 , also die Koordinatenform einer Ebenengleichung, in der der Punkt D liegt.
Ich habe schon einen Beitrag aus diesem Forum gelesen, doch da wird etwas von einer Kreuzung zweier Vektoren gesprochen. Da wir dies jedoch nie im Mathe-LK besprochen hatten, bitte ich, auf diese Methode zu verzichten.
Ich danke für eure Hilfe!
P.S.: Es können sich natürlich auch noch Fehler in meiner Vorgehensweise, wie oben beschrieben, befinden. Weist mich einfach darauf hin!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Sa 16.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hi cYrUz86,
erst einmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
dir geht es, so wie ich das sehe, jetzt nur noch darum die Höhe des Dreiecks herauszubekommen. Die Höhe entspricht dem Betrag des Vektors [mm]\vec{h} = \vec{CD}[/mm]. In diesem Beispiel befindet sich der rechte Winkel jedoch bei B, so dass der Punkt D mit B übereinstimmt. Das Verfahren ist hier besonders leicht, ich erkläre es aber allgemein: Zuerst stellst du eine Gerade durch A und B auf: (AB). Den Richtungsvektor dieser Gerade nimmst du als Normalenvektor einer Hilfsebene, die orthogonal zu (AB) ist und den Punkt C als Stützvektor besitzt. Diese Ebene schneidest du nun mit (AB) und erhältst den sog. Lotfußpunkt L = D (= B (hier)). Jetzt einfach noch den Betrag von [mm]\vec{LC} = \vec{DC}[/mm] und du hast die Höhe des Dreiecks (in diesem Fall 2).
Gruß,
mathrix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Sa 16.04.2005 | | Autor: | cYrUz86 |
Danke! Dein Ansatz hat mir viel gebracht. Diese Aufgabenstellung stammt aus einer Internetquelle, die unsere Lehrerin ausgedruckt hat. Jetzt frage ich mich noch, ob es noch einen anderen Ansatz zur Bestimmung des Flächeninhalts gibt, ohne diese Kreuzung zweier Vektoren vornehmen zu müssen. Andernfalls hat unsere Lehrkraft den Aufgabenzettel anscheinend nicht korrekturgelesen.
Vielleicht kenn jemand noch einen weiteren Ansatz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 So 17.04.2005 | | Autor: | cYrUz86 |
Hallo,
danke für deine Hilfe! Ich kannte diese Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks noch nicht, werde sie mir jetzt aber einprägen (für den Fall der Fälle). Es war oben das Kreuzprodukt gemeint und ich weiß auch, dass man sich an die definierten Begriffe halten sollte, aber ich hatte das nicht mehr ganz in Erinnerung.
Jedenfalls wollte ich mich nur nochmal für eure Hilfe bedanken!
Viele Grüße
Pascal
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