Fluss Vektorfeld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 So 16.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Berechenen Sie den Fluss des Vektorfeldes:
A(x)= [mm] \vektor{\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}\\ \bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} \\z} (x,y)\not=0
[/mm]
durch den Torus T, dh.: [mm] \integral_{T}{A(x) dsigma}
[/mm]
(Die Oberfläche des Torus wurde schon in der Übung berechnet) |
Hallo zusammen,
kann mir da jemand Tipps geben wie ich da starten kann? Ich weiss, dass man dafür den Satz von Gauß verwenden muss.
Ist das richtig, dass man zunächst div A(x) macht und dann weiss ich leider nicht weiter. Der Übungsleiter hat uns als Tipp gegeben, dass wir auf die Richtung des Normalenvektors achten müssen.
Vg Exel84
Ich habe diese Frage in keinem Forum gestellt.
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> Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes:
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> $\ A(x)\ =\ [mm] \vektor{\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}\\ \bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} \\z}$
[/mm]
>
> durch den Torus T, dh.: [mm]\integral_{T}{A(x)\ d \sigma}[/mm]
> (Die Oberfläche des Torus wurde schon in der Übung berechnet)
> Hallo zusammen,
>
> kann mir da jemand Tipps geben wie ich da starten kann? Ich
> weiss, dass man dafür den Satz von Gauß verwenden muss. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nicht unbedingt !
Man kann den Fluss auch direkt als Flächenintegral
berechnen, ohne Satz von Gauß.
> Der Übungsleiter hat uns als Tipp gegeben, dass
> wir auf die Richtung des Normalenvektors achten müssen.
Gerade dieser Tipp weist darauf hin, dass es um die
Berechnung des Flächenintegrals gehen soll, also:
[mm] $\integral_T \vec A(\vec [/mm] x) [mm] *\vec n(\vec [/mm] x)\ dF$
Darin steht [mm] \vec{n} [/mm] für den im Punkt X mit dem Orts-
vektor [mm] \vec{x} [/mm] stehenden, nach außen zeigenden Normalen-
vektor mit [mm] $|\vec [/mm] n|=1$ .
Für diesen Lösungsweg müsstest du dich also zunächst
um diesen Normaleneinheitsvektor sowie um das
Flächenelement dF kümmern.
> Ist das richtig, dass man zunächst div A(x) macht und
> dann weiss ich leider nicht weiter.
Dies wäre der Weg via den Satz von Gauß , bei dem die
Berechnung des Flächenintegral umgangen wird, indem
man stattdessen das Volumenintegral
[mm] $\integral_B div\left( \vec A(\vec x)\right)\ [/mm] dV$
berechnet. B ist dabei der Innenraum der Torusfläche T.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 So 16.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Danke für die schnelle Antwort.
Wir haben das dsigma, also das n schon in der Aufgabe wo wir die Oberfläche des Torus ausgerechnet haben, berechnet. Da hatten wir das Kreuzprodukt von Φ_ψ χ Φ_φ berechnet. Da kommt dann raus: r(R+sin(φ)). Kann man das übernehmen?
Ich probiere das schon die ganze Zeit aus aber ich glaub das ist falsch, oder?
Vg Exel84
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> Danke für die schnelle Antwort.
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> Wir haben das dsigma, also das n schon in der Aufgabe wo
> wir die Oberfläche des Torus ausgerechnet haben,
> berechnet. Da hatten wir das Kreuzprodukt von Φ_ψ χ
> Φ_φ berechnet. Da kommt dann raus: r(R+sin(φ)).
Das Kreuzprodukt bzw. n ist ein Vektor.
$\ [mm] r\cdot(R+sin(\varphi))$ [/mm] ist aber eine Zahl. Das kann also nicht
dasselbe sein.
Im Übrigen weiß ich auch nicht, wie ihr die Torusfläche
genau parametrisiert habt, also wie etwa der Winkel [mm] \varphi
[/mm]
definiert ist.
LG , Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:15 So 16.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Also wir haben die Oberfläche des Torus so berechnet:
[mm] X=\vektor{R+sinψ \\ 0 \\ r*cosψ}. Ψ\in[0,2pi]
[/mm]
Drehmatrix:
[mm] Mz==\vektor{cosφ \\ sinφ \\ 0}\vektor{-sinφ \\ cosφ \\ 0}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Damit:
Φ(ψ,φ)=Mz*x [mm] =\vektor{(R+R*sinψ)*cosφ \\ (R+R*sinψ)*sinφ \\ r*cosψ}
[/mm]
Parametisierung:
[mm] \bruch{\partialΦ(ψ,φ}{\partialψ}=\vektor{r*cosψ*cosφ \\ r*cosψ*sinφ \\ -r*sinψ}
[/mm]
[mm] \bruch{\partialΦ(ψ,φ}{\partialφ}=\vektor{-(R+sinψ)*sinφ \\ (R+sinψ)*cosφ \\ 0}
[/mm]
dsigma= |Φ_ψ χ Φ_φ| dψdφ= r(R+r*sinφ)
Und als Oberfläche für den Torus kam dann raus: [mm] 4\pi^{2}rR
[/mm]
Das war die Betechnung für die Oberfläche des Torus.
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> [mm]X=\vektor{R+sinψ \\ 0 \\ r*cosψ}. Ψ\in[0,2pi][/mm]
> Drehmatrix: [mm]Mz==\vektor{cosφ \\ sinφ \\ 0}\vektor{-sinφ \\ cosφ \\ 0}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Damit:
>
> Φ(ψ,φ)=Mz*x [mm]=\vektor{(R+R*sinψ)*cosφ \\ (R+R*sinψ)*sinφ \\ r*cosψ}[/mm]
>
> Parametisierung:
>
> [mm]\bruch{\partialΦ(ψ,φ}{\partialψ}=\vektor{r*cosψ*cosφ \\ r*cosψ*sinφ \\ -r*sinψ}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partialΦ(ψ,φ}{\partialφ}=\vektor{-(R+sinψ)*sinφ \\ (R+sinψ)*cosφ \\ 0}[/mm]
>
> dsigma= |Φ_ψ χ Φ_φ| dψdφ= r(R+r*sinφ)
Wenn du dir dies anschaust (was du auch schon sehen
kannst, wenn du vor dem Absenden eines Beitrags den
Vorschau-Button betätigst) , dann siehst du, dass die
Winkelsymbole von deiner Tastatur von TeX gar nicht
akzeptiert werden und damit in der Ausgabe fehlen.
Verwende also innerhalb von Formeln nur normale
Buchstaben und z.B. für griechische Buchstaben die
entsprechenden TeX-Codes, etwa:
[mm] \varphi[/mm] \varphi
[mm] \phi[/mm] \phi
[mm] \Phi[/mm] \Phi
[mm] \psi[/mm] \psi
[mm] \Psi[/mm] \Psi
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 18.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 16.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
ich habe das jetzt so versucht,
der Normalenvektor ist:
[mm] \bruch{\partial (phi)}{\partial (teta)} [/mm] x [mm] \bruch{\partial (phi)}{\partial (phi)} [/mm] = [mm] \vektor{r(R+sin (teta))*sin(teta)*cos(phi) \\ r(R+sin(teta))*sin(teta)*sin(phi) \\ r(R+sin(teta))*cos(phi)}
[/mm]
= [mm] \integral_{T}{A(x) dn}
[/mm]
stimmt der Ansatz so? Muss ich das Vektorfeld auch in Zylinderkoordinaten schreiben oder kann ich das so für die Berechnung lassen.
Wenn ich mit meinem Ansatz falsch bin, kann mir da jemand bitte zeigen wie der richtige Ansatz ist?
Vg Exel84
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Hallo Exel84,
> ich habe das jetzt so versucht,
>
> der Normalenvektor ist:
>
> [mm]\bruch{\partial (phi)}{\partial (teta)}[/mm] x [mm]\bruch{\partial (phi)}{\partial (phi)}[/mm]
> = [mm]\vektor{r(R+sin (teta))*sin(teta)*cos(phi) \\ r(R+sin(teta))*sin(teta)*sin(phi) \\ r(R+sin(teta))*cos(phi)}[/mm]
>
In den Klammern vor dem Sinus hast Du überall das "r" vergessen:
[mm]\vektor{r(R+\blue{r}*sin (teta))*sin(teta)*cos(phi) \\ r(R+\blue{r}*sin(teta))*sin(teta)*sin(phi) \\ r(R+\blue{r}*sin(teta))*cos(phi)}[/mm]
> = [mm]\integral_{T}{A(x) dn}[/mm]
>
> stimmt der Ansatz so? Muss ich das Vektorfeld auch in
> Zylinderkoordinaten schreiben oder kann ich das so für die
> Berechnung lassen.
>
Das Vektorfeld musst Du auch in diesen Koordinaten schreiben.
> Wenn ich mit meinem Ansatz falsch bin, kann mir da jemand
> bitte zeigen wie der richtige Ansatz ist?
>
> Vg Exel84
Gruss
MathePower
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