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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Fnkt. mehrerer Veränderlicher
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Fnkt. mehrerer Veränderlicher: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 So 14.06.2009
Autor: cracker

Aufgabe
Funktionen mehrerer Veränderlicher
Gegeben ist die Funktion
f (x, y) =(4x² + [mm] y²)*e^{1 - x² - y²}. [/mm]
Bestimmen Sie die stationären Punkte von f, d.h. die Punkte (x, y) mit
grad f(x, y) = [mm] \vec{0} [/mm]

hallo
ich bekomme grad f(x,y)= [mm] (2x*e^{1 - x² - y²}* [/mm] (4x-4x²-y²); [mm] 2y*e^{1- x²- y²}* [/mm] (1-4x²-y²))
für einen stat. punkt muss ja der grad f(x,y)= [mm] \vec{0} [/mm] sein.
was muss ich hier machen? raten???
ich hätte mir gedacht dass (0,0); (1,0); (0,1) stationäre punkte sind, wahrs auch noch mehr?!...aber muss ich dass nicht irgendwie begründen?..
lg

        
Bezug
Fnkt. mehrerer Veränderlicher: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 So 14.06.2009
Autor: Loddar

Hallo cracker!


> ich bekomme grad f(x,y)= [mm](2x*e^{1 - x² - y²}*[/mm] (4x-4x²-y²); [mm]2y*e^{1- x²- y²}*[/mm] (1-4x²-y²))

[notok] Ich erhalte hier:
[mm] $$\text{grad} [/mm] f(x,y) \ = \ [mm] \vektor{2x*e^{1-x^2-y^2}*\left(\red{4}-4x^2-y^2\right) \\ 2y*e^{1-x^2-y^2}*\left(1-4x^2-y^2\right)}$$ [/mm]

> für einen stat. punkt muss ja der grad f(x,y)= [mm]\vec{0}[/mm] sein.

Setze beide Terme des Gradienten gleich Null. Da jeweils der Term [mm] $e^{1-x^2-y^2}$ [/mm] nie Null werden kann, kannst Du diesen außen vor lassen.

Es verbleiben also als Bestimmungsgleichungen:
[mm] $$2x*\left(4-4x^2-y^2\right) [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$2y*\left(1-4x^2-y^2\right) [/mm] \ = \ 0$$

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Fnkt. mehrerer Veränderlicher: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 So 14.06.2009
Autor: cracker

Ah,
das hatte ich übersehen..
okay, und wie löse ich dieses gleichungssystem am schlauesten ohne computerprogramm?
danke

Bezug
                        
Bezug
Fnkt. mehrerer Veränderlicher: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 So 14.06.2009
Autor: weightgainer

[Zitat von Loddar]
Es verbleiben also als Bestimmungsgleichungen:

    $ [mm] 2x\cdot{}\left(4-4x^2-y^2\right) [/mm] \ = \ 0 $


    $ [mm] 2y\cdot{}\left(1-4x^2-y^2\right) [/mm] \ = \ 0 $



Gruß
Loddar
[Zitat Ende]

Du kannst es systematisch durchgehen:
1. Gleichung anschauen:
1. Fall: x = 0
Das kannst du in die zweite Gleichung einsetzen und so passende y-Werte ermitteln. Das sollte 3 Lösungen geben.

2. Fall: [mm]4-4x^2-y^2=0[/mm] nachher

2. Gleichung anschauen:
1. Fall: y = 0
Das wieder in die erste Gleichung einsetzen und so passende x-Werte bekommen (hier bekommst du dann (0/0) doppelt, aber das schadet ja nichts). Das sollte noch zwei zusätzliche Lösungen geben.

2. Fall: [mm]1-4x^2-y^2=0[/mm]

Die zweiten Fälle klingen sehr ähnlich - von daher kann man die sozusagen in einem Aufwasch erledigen. Umgangssprachlich gesprochen: wenn der eine Term 0 ist, dann kann es der andere nicht werden. Da aber beide Produkte 0 werden müssen, geht das nur dann, wenn schon x=0 oder y=0 ist, aber die beiden Fälle hast du ja schon behandelt.
Formal z.B.
[mm]4-4x^2-y^2=0[/mm] | -3
[mm]1-4x^2-y^2=-3 \ne 0[/mm], also muss y=0 sein --> anderer Fall, bereits betrachtet.
Den anderen Fall dann entsprechend.

Gruß,
weightgainer




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