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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Do 17.11.2005 | | Autor: | denwag |
Hallo, ich hab bei einer aufgabe nicht einmal einen ansatzpunkt, wie ich beginnen soll, hoffe mir kann jemand helfen, wäre voll nett.
Aufgabe:
Sei (an) eine Folge reeller Zahlen und sei
á_{n} := (1/n) [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] diese ´über dem a ist so ein ¯ über dem a
die Folge der Mittelwerte.
1. Zeigen Sie: Wenn ( [mm] a_{n}) [/mm] gegen ein a [mm] \in [/mm] R konvergiert, so konvergiert auch [mm] (¯a_{n}) [/mm] gegen a.
2. Gibt es eine in R divergente Folge ( [mm] a_{n}), [/mm] so dass (¯ [mm] a_{n}) [/mm] konvergiert?
Vielen Dank!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Do 17.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Nabend denwag!
Es gilt doch [mm] a_{n} [/mm] zumindest gliedweise kleiner [mm] \overline{a} [/mm] also [mm] a_{n}<\overline{a}=\bruch{1}{n}+\summe_{k=1}^{n}a_{k}
[/mm]
die Summe kannst du doch durch n*Der grösste Summand nach oben abschätzen. Das sei der nte Summand [mm] a_{n}. [/mm] Also
[mm] \overline{a}=\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}a_{k}<\bruch{1}{n}*n*a_{n}=a_{n}
[/mm]
Quetschlemma oder Sandwichlemma liefert dann die in a) geforderte Antwort.
MfG
saxneat
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 17.11.2005 | | Autor: | denwag |
sorry aber ich versteh meine aufgabe trotzdem nicht, können sie mir es nicht schritt für schritt mal erklären? wär voll lieb von ihnen.
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Do 17.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Gruß!
Erstmal kannst mich dutzen mach ich ja bei dir auch :o).
Nich durch Zusatzinformationen verwirren lassen.
[mm] \overline{a}_{n} [/mm] wird auch die Folge der Mittelwerte von [mm] a_{n} [/mm] genannt. Schau mal in deinem Lehrbuch was du unter geometrisches Mittel findest. Ist aber nur ne Zusatzinfo die du zur beantwortung nicht benötigst, du aber im Hinterkopf behalten solltest.
Du hast zwei Folgen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] \overline{a}_{n}. [/mm] Von [mm] a_{n} [/mm] weist du sie ist Konvergent. Von [mm] \overline{a}_{n} [/mm] möchtest du gerne wissen ob sie konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Do 17.11.2005 | | Autor: | denwag |
aber meine problem ist: ich soll doch zeigen, dass an konvergent ist, wie mach ich das? ich hab doch keine an folge.
Danke
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:13 Do 17.11.2005 | | Autor: | denwag |
aber meine problem ist: ich soll doch zeigen, dass an konvergent ist, wie mach ich das? ich hab doch keine an folge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo denwag,
> Hallo, ich hab bei einer aufgabe nicht einmal einen
> ansatzpunkt, wie ich beginnen soll, hoffe mir kann jemand
> helfen, wäre voll nett.
>
> Aufgabe:
>
> Sei (an) eine Folge reeller Zahlen und sei
>
> á_{n} := (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm] diese ´über dem a
> ist so ein ¯ über dem a
>
> die Folge der Mittelwerte.
>
> 1. Zeigen Sie: Wenn ( [mm]a_{n})[/mm] gegen ein a [mm]\in[/mm] R
> konvergiert, so konvergiert auch [mm](¯a_{n})[/mm] gegen a.
Ob saxneats Ansatz noch zu retten ist, sehe ich im Augenblick nicht. Deswegen hier ein Fragment aus einem Ansatz mit [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] (ich nehme an, dass du im ersten Semester bist und auch kaum etwas anderes benutzen darfst  ) Vielleicht bringt dich dieses Fragment ja auf den richtigen Ansatz:
[mm] $\left|\overline{a_n}-a\right|$
[/mm]
[mm] $=\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n a_k-a\right|$
[/mm]
[mm] $=\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n (a_k-a)\right|$ [/mm] (Beachte die Klammern!)
[mm] $\le \left|\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^N (a_k-a)\right|+\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=N+1}^n (a_k-a)\right|$ [/mm] (Dreiecksungleichung)
Diese beiden letzen Summanden werden nun aus unterschiedlichen Gründen beliebig klein... Wie kannst du diese Ungleichung nun in den Beweis einbauen?
> 2. Gibt es eine in R divergente Folge ( [mm]a_{n}),[/mm] so dass (¯
> [mm]a_{n})[/mm] konvergiert?
Probier' doch mal...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 19.11.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo Marc,
ich sitze gerade an der gleichen aufgabe und verstehe den letzten Schritt deiner rechnung einfach nicht!Wie kommst du auf diesen Umformungsschritt mit der Dreicksungleichung? Nach langem überlegen habe ich ihn dann einfach mal akzeptiert und probiert in meinen Beweis einzubauen, jedoch ohne Erfolg! Kannst du mir zeigen, was du damit vor hattest?
Bitte helf mir, bevor ich völlig verzweifle!!
Gruß
Kuminitu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 So 20.11.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Kuminitu,
> ich sitze gerade an der gleichen aufgabe und verstehe den
> letzten Schritt deiner rechnung einfach nicht!Wie kommst du
> auf diesen Umformungsschritt mit der Dreicksungleichung?
Es muss ja das Ausdruck [mm] $|\overline{a_n}-a|$ [/mm] abgeschätzt werden, er soll (ab einem bestimmtem Index) beliebig klein, also kleiner als jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] werden können.
Die Dreiecksungleichung habe ich dann angewendet, weil ich ich so zwei Ausdrücke erhalte, die ich gut abschätzen kann:
Hier dann die ganze Rechnung:
Sei [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
(Gesucht ist ein [mm] $M\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $\left|\overline{a_n}-a\right|<\varepsilon$ [/mm] für alle $n>M$)
[mm] $\left|\overline{a_n}-a\right|$
[/mm]
[mm] $=\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n a_k-a\right|$
[/mm]
[mm] $=\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n (a_k-a)\right|$ [/mm] (Beachte die Klammern!)
Nun ist ja die Folge [mm] $(a_k)$ [/mm] konvergent, d.h., es existiert ein [mm] $N\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $|a_k-a|<\bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm] für alle $k>N$
[mm] $\le \blue{\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^N (a_k-a)\right|}+\green{\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=N+1}^n (a_k-a)\right|}$ [/mm] (Dreiecksungleichung)
Für den grünen Ausdruck gilt dann (für $n>N$):
[mm] $\green{\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=N+1}^n (a_k-a)\right|}$
[/mm]
$ [mm] \le \bruch{1}{n}\summe_{k=N+1}^n |a_k-a|$ [/mm] (Dreiecksungleichung)
$ [mm] \le \bruch{1}{n}\summe_{k=N+1}^n \bruch{\varepsilon}{2}$
[/mm]
$ [mm] \le \bruch{1}{n}*(n-N)*\bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm]
$ [mm] \le \bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm] (da [mm] $\bruch{n-N}{n}<1$)
[/mm]
Der blaue Ausdruck kann noch einfacher abgeschätzt werden, denn bei Wahl von N wird [mm] $\summe_{k=1}^N (a_k-a)$ [/mm] zu einer Konstanten. Ich wähle nun dass $M$ so gross, dass es
1. größer als $N$ ist (damit der grüne Ausdruck schön kleiner [mm] $\varepsilon/2$ [/mm] bleibt)
2. [mm] $\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^N (a_k-a)\right| \le \bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm] für alle $n>M$
Insegesamt haben wir dann für jedes $n>M$ die Abschätzung:
[mm] $\left|\overline{a_n}-a\right|$
[/mm]
[mm] $\le \blue{\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^N (a_k-a)\right|}+\green{\left|\bruch{1}{n}\summe_{k=N+1}^n (a_k-a)\right|}$
[/mm]
[mm] $\le \blue{\bruch{\varepsilon}{2}}+\green{\bruch{\varepsilon}{2}}$
[/mm]
[mm] $=\varepsilon$
[/mm]
> Nach langem überlegen habe ich ihn dann einfach mal
> akzeptiert und probiert in meinen Beweis einzubauen, jedoch
> ohne Erfolg! Kannst du mir zeigen, was du damit vor
> hattest?
So, ich hoffe, das ist etwas klarer geworden 
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo saxneat!
> Es gilt doch [mm]a_{n}[/mm] zumindest gliedweise kleiner
> [mm]\overline{a}[/mm] also
> [mm]a_{n}<\overline{a}=\bruch{1}{n}+\summe_{k=1}^{n}a_{k}[/mm]
also, so ganz verstehe ich das auch nicht.
Bei einer monoton wachsenden Folge [mm] $a_n$ [/mm] ist doch [mm] $a_{n}\ge\overline{a_n}=\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}a_{k}$.
[/mm]
> die Summe kannst du doch durch n*Der grösste Summand nach
> oben abschätzen. Das sei der nte Summand [mm]a_{n}.[/mm] Also
>
> [mm]\overline{a}=\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}a_{k}<\bruch{1}{n}*n*a_{n}=a_{n}[/mm]
> Quetschlemma oder Sandwichlemma liefert dann die in a)
> geforderte Antwort.
Das sehe ich dann auch nicht.
Viele Grüße,
Mar
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