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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 So 22.04.2012 | | Autor: | j3ssi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] $\bruch{3}{2}$ [/mm] das Minimum und 2 eine obere Schranke von $D= [mm] {(1+\bruch{1}{2n})^n } [/mm] $ ist. Hinweis: Bernolische Ungleiuchung und [mm] $(1+\bruch{1}{2n})^n=(1-\bruch{1}{2n+1}) [/mm] ^{-n}$ für alle $n [mm] \in \IN [/mm] $, was Sie ohne Beweis benutzen dürfen. |
Das Minimum konnte ich zeigen , in dem ich [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}<1$ [/mm] setze und ein paar Umformungen später kam das gewünschte raus.
nun habe ich ein paar Ansätze versucht um zu zeigen, dass 2 eine obere Schranke von D ist bin dabei aber bisher auf keinen grünen Zweig gestossen.
Konkret habe ich versucht zu zeigen, dass [mm] $1+\bruch{1}{2n}<2^{1/n} [/mm] $
Bin da bisher nur in Sackgassen geraten. Ich weiss das der Limes von D mit $n [mm] \to \infty \wurzel{e} [/mm] $ ergibt.
Brauche irgendwie nen neuen Ansatz da der letze nicht so wirklich funktioniert hat.
Hoffe mir kann jemand helfen
Mfg Jessica
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> Zeigen Sie, dass [mm]\bruch{3}{2}[/mm] das Minimum und 2 eine obere
> Schranke von [mm]D= {(1+\bruch{1}{2n})^n }[/mm] ist. Hinweis:
> Bernolische Ungleiuchung und
> [mm](1+\bruch{1}{2n})^n=(1-\bruch{1}{2n+1}) ^{-n}[/mm] für alle [mm]n \in \IN [/mm],
> was Sie ohne Beweis benutzen dürfen.
> Das Minimum konnte ich zeigen , in dem ich
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}<1[/mm] setze und ein paar Umformungen
> später kam das gewünschte raus.
>
> nun habe ich ein paar Ansätze versucht um zu zeigen, dass
> 2 eine obere Schranke von D ist bin dabei aber bisher auf
> keinen grünen Zweig gestossen.
>
> Konkret habe ich versucht zu zeigen, dass
> [mm]1+\bruch{1}{2n}<2^{1/n}[/mm]
> Bin da bisher nur in Sackgassen geraten. Ich weiss das der
> Limes von D mit [mm]n \to \infty \wurzel{e}[/mm] ergibt.
> Brauche irgendwie nen neuen Ansatz da der letze nicht so
> wirklich funktioniert hat.
Der Tipp steht doch schon da: Mit der Bernoulli-Ungleichung zeigst du
[mm] (1-\bruch{1}{2n+1}) ^{n}\ge 1-\frac{1}{2}, [/mm] woraus sofort
[mm] (1-\bruch{1}{2n+1}) ^{-n}\le [/mm] 2 folgt
> Hoffe mir kann jemand helfen
> Mfg Jessica
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