Folge stetiger Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Do 22.05.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Geben Sie ein Folge [mm] (f_{n}) [/mm] stetiger Funktionen [mm] f_{n}:[0,1] \to\IR [/mm] mit folgenden Eigenschaften an:
1. Für jedes n [mm] \in\IN [/mm] gilt f(0) < 0 < f(1).
2. Die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] konvergiert punktweise gegen eine Grenzfunktion f : [0,1] [mm] \to \IR.
[/mm]
3. f hat keine Nullstelle.
Ist die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] gleichmäßig stetig? |
Hi!
Ich bräuchte mal wieder eure Hilfe. Und zwar bin ich mir nicht ganz sicher, wie meine Folge stetiger Funktionen aussehen könnte! Mir ist spontan [mm] x^{n} [/mm] eingefallen, diese ist punktweise konvergent, allerdings besitzt die ja eine Nullstelle in 0 und auch f(0) < 0 < f(1) ist nicht erfüllt. Dann dachte ich mir vielleicht [mm] \bruch{1}{x^n}, [/mm] aber die ist ja für x=0 nicht definiert. Funktioniert also auch nicht. Ich hatte gehofft eine "schöne" Folge stetiger Funktionen finden zu können, allerdings ist mir keine eingefallen, die alle Kriterien erfüllt. Könnt ihr mir da vielleicht einen Tipp bzw. Hinweis geben, wie die Folge aussehen könnte?
Ich bin für jeden Hinweis/Tipp dankbar!
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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Hiho,
erstmal vorweg: Ich denke, das soll [mm] $f_n(0) [/mm] < 0 < [mm] f_n(1)$ [/mm] heißen.
Dann: Tun wir doch genau mal das konstruktiv.
Sei [mm] $f_n(0) [/mm] = -1$ und [mm] $f_n(1) [/mm] = 1$
Nun konstruiere stetige [mm] f_n, [/mm] die 0 und 1 verbinden, aber immer steiler ansteigen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Do 22.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Vielen Dank erstmal.
Aber wenn ich das so mache, wie du gesagt hast, dass $ [mm] f_n(0) [/mm] = -1 $ und $ [mm] f_n(1) [/mm] = 1 $, dann besitzt die Folge doch mit Sicherheit eine Nullstelle in [0,1]. Es sei denn, sie hätte ein Loch. Ich dachte mir auch, eine alternierende Funktionenfolge, aber da hat man doch dasselbe Problem. Kann mir da vielleicht nochmals jemand auf die Sprünge helfen, wo mein Denkfehler liegt.
Ich bin für jeglichen Hinweis dankbar.
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 22.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Petrit,
Die Grenzfunktion
[mm] f\colon[0,1]\to\IR
[/mm]
soll keine Nullstelle besitzen! Die Grenzfunktion muss im
Allgemeinen auch nicht unbedingt stetig sein.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 22.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Ja natürlich, es muss für die Grenzfunktion gelten, danke.
Ich hab mir folgende Folge überlegt:
[mm] f_{n}(x)= x^n-\bruch{1}{2n}. [/mm] Die konvergiert punktweise für [mm] x\to [/mm] 1 und [mm] n\to \infty [/mm] gegen 1 und für [mm] x\to [/mm] 0 und [mm] n\to \infty [/mm] gegen 0. Bei der Nullstelle bin ich mir noch nicht ganz im Klaren.
Jetzt meine Frage: Bin ich auf dem richtigen Weg oder sieht die Lösung doch ganz anders aus?
Ich bin für jegliche Hilfe dankbar.
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Do 22.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich hab mir folgende Folge überlegt:
> [mm]f_{n}(x)= x^n-\bruch{1}{2n}.[/mm]
Die Überprüfung der ersten Eigenschaft fehlt. Es gilt:
[mm] f_n(0)=-\frac{1}{2n}<0<1-\frac{1}{2n}=f_n(1) [/mm] für alle [mm] n\in\IN,
[/mm]
wobei das eigentlich klar sein sollte.
> Die konvergiert punktweise
> für [mm]x\to[/mm] 1 und [mm]n\to \infty[/mm] gegen 1 und für [mm]x\to[/mm] 0 und
> [mm]n\to \infty[/mm] gegen 0.
Nicht für [mm] $x\to [/mm] 1$ bzw. [mm] $x\to [/mm] 0$, sondern direkt die Grenzfunktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x<1 \\ 1, & x=1 \end{cases}.
[/mm]
> Bei der Nullstelle bin ich mir noch
> nicht ganz im Klaren.
Hier liegt auch das Problem. Die Null muss im Definitions-
bereich der Grenzfunktion liegen und das tut sie bei dir
auch, aber es gilt auch:
$f(0)=0$.
> Jetzt meine Frage: Bin ich auf dem richtigen Weg oder
> sieht die Lösung doch ganz anders aus?
Du bist auf einem guten Weg, aber die Nullstelle hast du
übersehen. Gono hat dir bereits mit
[mm] $f_n(0)=-1$
[/mm]
und
[mm] $f_n(1)=1$
[/mm]
einen guten Anfang gegeben. Probiere nun [mm] f_n [/mm] für [mm] x\in(0,1) [/mm] zu
definieren, sodass alle Eigenschaften gelten.
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Hiho,
du ignorierst völlig meinen Hinweis:
Du sollst -1 und 1 mit einer (stückweisen linearen) stetigen Funktion verbinden, die immer steiler Ansteigen.
Wenn du das machst, kommst du da ganz alleine drauf, wie das geht....
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Fr 23.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi.
Ich verstehe das nicht so ganz mit dieser stückweisen linearen stetigen Funktion. Mir ist höchstens noch die Folge [mm] 2x^n-1 [/mm] eingefallen. Hier ist die erste Bedingung, also [mm] f_{n}(0) [/mm] < 0 < [mm] f_{n}(1) [/mm] erfüllt. Auch die 2. Bedingung ist meiner Meinung nach erfüllt. Die Folge konvergiert für x=1 und [mm] n\to \infty [/mm] gegen 1 und für [mm] 0\le [/mm] x <1 gegen -1. Bei der Nullstelle bin ich mir wiederrum nicht sicher.
Ich komme einfach nicht dahinter, bei dieser Aufgabe. Wahrscheinlich ist die Lösung ganz simpel, nur komme ich einfach nicht wirklich drauf.
Könnt ihr mir vielleicht nochmal weiterhelfen, wäre echt super.
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Fr 23.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
na bitte, passt doch.
Deine erste Idee war ja schon sehr gut, du hast die Funktionsgraphen dann nur auf zu komplizierte Art "nach unten" verschoben, [mm] x^n-1/2 [/mm] hätte ja gereicht.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi.
Super, danke für das Feedback.
Ich habe allerdings noch ein kleines Problem mit der gleichmäßigen Konvergenz.
Ich glaube, dass sie nicht gleichmäßig konvergent ist, da ja [mm] x^n [/mm] in [0,1] auch nicht gleichmäßig konvergent ist und ich hier nur den Faktor [mm] 2*x^n [/mm] und -1 habe. Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das notieren soll.
Allgemein gilt ja: Für ein [mm] N\in \IN [/mm] ex., so dass [mm] n\ge [/mm] N [mm] \in [/mm] X gilt: [mm] |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon.
[/mm]
Mir ist nicht so ganz klar, was ich für f(x) einsetzen soll, da ich ja einmal 1 und -1 rausbekommen habe. Und wenn ich nun dem Grenzwert eingesetzt habe, wie müsste ich dann weiter abschätzen?
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Ich wäre echt dankbar!
Viele Grüße, Petrit!
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Hiho,
deine Idee ist genauso gut, daher brauch ich dir meine Idee gar nicht mehr auf die Nase binden 
> Ich glaube, dass sie nicht gleichmäßig konvergent ist
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> da ja [mm]x^n[/mm] in [0,1] auch nicht gleichmäßig konvergent ist
Das reicht schon aus als Begründung.
Wäre deine Funktionenfolge gleichmäßig konvergent, so auch [mm] $\bruch{1}{2}*f_n [/mm] + 1 = [mm] x^n$
[/mm]
Es gibt aber noch eine andere Begründungsmöglichkeit: Was weißt du über den gleichmäßigen Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen?
> und ich hier nur den Faktor [mm]2*x^n[/mm] und -1 habe. Allerdings
> weiß ich nicht genau, wie ich das notieren soll.
> Allgemein gilt ja: Für ein [mm]N\in \IN[/mm] ex., so dass [mm]n\ge[/mm] N [mm]\in[/mm] X gilt: [mm]|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon.[/mm]
Für was? Da fehlt das entscheidende: [mm] $\forall [/mm] x$
Je nachdem, wo das steht, ist das entweder punktweise oder gleichmäßige Konvergenz.
> Mir ist nicht so ganz klar, was ich für f(x) einsetzen soll, da ich ja einmal 1 und -1 rausbekommen habe.
Ja genau das, was es ist:
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0 & 0\le x < 1 \\ 1 & x=1 \end{cases}$
[/mm]
> Und wenn ich nun dem Grenzwert eingesetzt habe, wie müsste ich dann weiter abschätzen?
> Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Mach dir mal klar: Eine Funktionenfolge ist gleichmäßig konvergent, genau dann, wenn [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty \to [/mm] 0$.
Zeige also: [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty \not\to [/mm] 0$
Aber das musst du nur machen, wenn du es wirklich mal üben willst. Oben hast du ja schon einige Gründe angegeben, warum die Folge nicht gleichmäßig konvergent sein kann.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Super, vielen Dank.
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