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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 So 16.04.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Sei X die Menge aller Folgen [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] reeller Zahlen mit 0 [mm] \le a_{n} \le [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
sei a= [mm] (a_{n})_{n \in \IN} \in [/mm] X.
Definieren sie eine Folge von Elementen [mm] x_{l} \in [/mm] X, welche gegen a konvergiert (zu beweisen!) und so dass für jedes l gilt: Die Folge [mm] x_{l} [/mm] hat nur endlich viele von 0 verschiedene Einträge. |
Hallo zusammen,
bei dieser Teilaufgabe mangelt es mir an jeglichen Ideen. Ein bis zwei Tipps (besonders bzgl. der von 0 verschiedenen Einträge) würden mir schon sehr weiterhelfen.
Hoffe das ist auch an Ostern machbar!?
Danke schon mal.
Gruß, Patrick
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> Sei X die Menge aller Folgen [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] reeller
> Zahlen mit 0 [mm]\le a_{n} \le[/mm] 1 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
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> sei a= [mm](a_{n})_{n \in \IN} \in[/mm] X.
>
> Definieren sie eine Folge von Elementen [mm]x_{l} \in[/mm] X, welche
> gegen a konvergiert (zu beweisen!) und so dass für jedes l
> gilt: Die Folge [mm]x_{l}[/mm] hat nur endlich viele von 0
> verschiedene Einträge.
> Hallo zusammen,
>
> bei dieser Teilaufgabe mangelt es mir an jeglichen Ideen.
> Ein bis zwei Tipps (besonders bzgl. der von 0 verschiedenen
> Einträge) würden mir schon sehr weiterhelfen.
>
> Hoffe das ist auch an Ostern machbar!?
>
> Danke schon mal.
>
> Gruß, Patrick
Also, das Problem an dieser Aufgabe ist, dass sich das ganze in einem Folgenraum abspielt.
Mein Ansatz wäre: Ich nehme mir eine solche Folge [mm](a_{n})[/mm] her
und suche jetzt Folgen, die gegen diese Folge konvergieren, also Folgen von Folgen!
[mm] x_{l}=a_{n} + b_{l} [/mm]
wobei dieses [mm]b_{l}[/mm] einfach für eine Nullfolge steht, die man wie folgt konstruieren könnte:
[mm] b_{l}=\begin{cases} 0, & \mbox{für die ersten l Folgenglieder} \\ c, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
wobei c eine Zahl aus (0,1] ist (wichtig: 0 ist nicht dabei)
nun hat jede dieser Folgen [mm] x_{l} [/mm] nur endl. viele Nulleinträge (höchstens l, wenn die [mm] a_{n} [/mm] dort 0 sind, da die [mm] a_{n} [/mm] alle positiv sind!)
für l-> unendlich konvergieren allerdings die [mm]b_{l}[/mm] gegen die Folge aus lauter Nullen und damit die [mm]x_{l}[/mm] gegen das Gewünschte.
Mfg
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mo 17.04.2006 | | Autor: | oeli1985 |
SUPER, an diese Möglichkeit hab ich überhaupt nicht gedacht. VIELEN DANK
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