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Hallo zusammen!
Ich habe schon die anderen aktuellen Beiträge zu diesem Thema durchgelesen, sie bringen mich aber nicht weiter, da ich speziell Fragen zu der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung habe.
Also von vorne:
Das betrifft die Definition "Konvergente Folgen"
Sei ( [mm] a_{n}) [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen a [mm] \in \IR, [/mm] falls gilt:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass
[mm] |a_{n} [/mm] -a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
für alle [mm] n\geN.
[/mm]
So, mit hilfe eines Zahlenstrahls kann ich mir das auch gut vorstellen, aber mir ist die Beudeutung von "N" in der Definition nicht klar.
Also, was soll "N" bezeichnen? Es kommt ja nicht in der Formel mit den Betragsstrichen vor...
So, dann stehen im Buch noch Beipielaufgaben.
1.) [mm] (a_{n}) [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] mit [mm] n\in\IN
[/mm]
Beh.: Folge ist divergent.
Beweis: Angenommen Folge ist konvergent, dann gilt: [mm] |a_{n} [/mm] -a| < 1.
2 = [mm] |a_{n+1} -a_{n}|
[/mm]
Hier verstehe ich den Ansatz nicht, wie kommt man darauf?
2= [mm] |(a_{n+1} -a)+(a-a_{n}) [/mm] |
okay, hier wurde nur was addiert und subtrahiert.
2 [mm] \le |a_{n+1} [/mm] -a| [mm] +|a-a_{n} [/mm] |
Wie kommt man darauf???
2 < 1+1
wieso jetzt < statt [mm] \le?
[/mm]
Dass 2 < 2 ein Widerspruch ist, also bewiesen ist, dass die Annahme nicht stimmt undso gezeigt wurde, dass die Folge divergent ist, ist klar. Aber das dazwischen verstehe ich nicht.
So generell ist das ja klar, dass die Folge divergent ist, aber das mit der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung zu beweisen ist schwer...
liebe grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
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> So, mit hilfe eines Zahlenstrahls kann ich mir das auch gut
> vorstellen, aber mir ist die Beudeutung von "N" in der
> Definition nicht klar.
> Also, was soll "N" bezeichnen?
Das N bezeichnet einen Index, sodass für alle n>= N die Betragsungleichung erfüllt ist. N hängt von epsilon ab, denn wählst du ein sehr kleines epsilon, so wird dein N größer sein, als bei einem kleinen...
Es gibt viele Erklärungen, warum [mm] a(n)=(-1)^n [/mm] nicht konvergiert:
Die einfachste ist, dass sie aus 2 Teilfolgen besteht a1(n)= -1 und a2(n)= 1 und die nat. nicht den selben GW haben.
>
Der in deinem Buch vorgestellte Beweis arbeitet damit, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant 2 ist.
2= |(a(n+1)- a)+(a- a(n))|<= |a(n+1)- a|+ |a- a(n)| (Das ist die sog. Dreiecksungleichung)
Ersetzt man auf der rechten Seite die Summanden dr. die Annahme |a(n)- a|< epsilon (=1) ergibt sich
linke Seite < 2*epsilon (=2)
Hoff dir geholfen zu haben,
Nilez
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Hallo Nilez!
Der Groschen ist gefallen, na klar, die Dreiecksungleichung kenne ich (sollte ich kennen  ).... vielen Dank erstmal für deine Antwort!
Eins ist mir nur noch nicht klar: Der Zusammenhang zwischen N und [mm] \varepsilon.
[/mm]
Ich habe mir auch noch mal drüber Gedanken gemacht, meine Theorie lautet:
N ist ein bestimmtes Glied der Folge. Nämlich das, welches (mal ganz salopp gesagt) am "linkesten" (wenn die Folge nach oben beschränkt ist) /am "rechtesten" (wenn die Folge nach unten beschränkt ist) an [mm] \varepsilon [/mm] liegt. Verstehst du was ich meine?
Ich meine, [mm] \varepsilon [/mm] gibt ja einen Bereich mit dem "Endpunkt" des Grenzwertes an, und N ist dann das Glied, der Folge welches nicht mehr in [mm] \varepsilon [/mm] liegt, aber welches am "Anfangspunkt" des [mm] \varepsilon [/mm] - Bereichs sehr sehr nahe dran liegt... D.h. es gibt kein Glied zwisch N und dem ersten welches in [mm] \varepsilon [/mm] liegt.
Das ist nicht zufällig das, was du mit der Indexmenge meinst? Wahrscheinlich nicht ... :-(
Kannst du mir N vielleicht anhand eines Beispiels genauer erklären??? Das wäre toll.
liebe Grüße, dancingestrella
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Ahoi,
ich versuch's mal in ganz einfachen Worten zu sagen, und dann kannst Du vielleicht einhaken und sagen, wo Dein Problem liegt:
(1) Man gibt ein epsilon vor.
(2) Dann versucht man zu zeigen, dass ab einem bestimmten Index N alle weiteren Folgenglieder in der epsilon-Umgebung liegen.
(3) Wenn dieser Nachweis unabhängig vom Zahlenwert von epsilon für alle epsilöner > 0 funktioniert, dann ist der Grenzwertbeweis gelungen.
Gruß - PP
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vielen Dank!
jetzt ist mir klar, was das N bedeutet, warum es in abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] ist... und die Definition von der Konvergenz ist klar. Supi.
Nur bezweifle ich, ob ich mithilfe dieser Definition zeigen kann, dass eine Folge konvergiert. ich meine so ganz praxisbezogen. mit echten zahlen, denen man ja im studium nicht mehr so oft begenet
Ich such die Tage mal eine geeignete Folge, die konvergiert und vielleicht können wir das zusammen zeigen?
bis dahin,
liebe grüße, dancingestrella
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