Folgen: Konvergenz untersuchen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Do 10.11.2011 | | Autor: | enes.g |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz:
[mm] (a)_{n} [/mm] = [mm] \bruch{4n^3-(-1)^n*n^2}{5n+2n^3} [/mm]
[mm] (b)_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{2^n+n}
[/mm]
[mm] (c)_n [/mm] = [mm] \bruch{(n^2+n^5)^4}{n^2+3n^4+100n^19} [/mm] |
Wer kann mir helfen? Ich muss ja zuerst einen Grenzwert finden um dann die Definition anwenden zu können. Aber irgendwie ist dies nicht mein Thema :-(
Bin sehr dankbar für jede Hilfe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo enes.g. ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz:
> [mm](a)_{n}[/mm] = [mm]\bruch{4n^3-(-1)^n*n^2}{5n+2n^3}[/mm]
> [mm](b)_n[/mm] = [mm]\bruch{n}{2^n+n}[/mm]
> [mm](c)_n[/mm] = [mm]\bruch{(n^2+n^5)^4}{n^2+3n^4+100n^19}[/mm]
> Wer kann mir helfen? Ich muss ja zuerst einen Grenzwert
> finden um dann die Definition anwenden zu können. Aber
> irgendwie ist dies nicht mein Thema :-(
> Bin sehr dankbar für jede Hilfe...
Bei [mm] a_n [/mm] klammerst Du mal [mm] n^3 [/mm] im Zähler und Nenner aus:
[mm] a_n=\bruch{4n^3-(-1)^n*n^2}{5n+2n^3}=\bruch{n^3}{n^3}*\bruch{4-(-1)^n*\bruch{1}{n}}{\bruch{5}{n^2}+2}
[/mm]
Jetzt lass mal [mm] n\to\infty [/mm] laufen, dann "siehst" Du den Grenzwert hoffentlich sofort.
Bei [mm] c_n [/mm] geht das im Prinzip genauso. Die höchste Potenz im Zähler ist [mm] n^{20}, [/mm] im Nenner [mm] n^{19}. [/mm] Wenn Du z.B. [mm] n^{19} [/mm] in beiden ausklammerst, bleibt für [mm] n\to\infty [/mm] im Nenner der Wert 100, im Zähler aber n, und das geht ja gegen Unendlich. Insgesamt also: nicht konvergent.
Bei [mm] b_n [/mm] ist das beste, [mm] 2^n [/mm] im Zähler und Nenner auszuklammern. Der Rest funktioniert dann wie bei den beiden andern, und der Grenzwert ist...
Na, jetzt mal wieder Du.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Do 10.11.2011 | | Autor: | enes.g |
Erstmal danke sehr für deine Hilfe 
Bei [mm] a_{n} [/mm] habe ich jetzt geschrieben, dass ich im Zähler eine Nullfolge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] habe somit [mm] a_{n} [/mm] gegen 0 konvergiert.
Wenn ich bei [mm] b_{n} [/mm] die [mm] 2^n [/mm] ausklammere komme ich auf [mm] \bruch{n}{2^n*(1+n)} [/mm] Ist dies auch eine Nullfolge?
Und wie kann ich für [mm] c_{n} [/mm] die divergenz beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:46 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo enes!
> Bei [mm]a_{n}[/mm] habe ich jetzt geschrieben, dass ich im Zähler
> eine Nullfolge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] habe somit [mm]a_{n}[/mm] gegen 0 konvergiert.
Du vergisst hier aber noch jeweils einen Term in Zähler und Nenner!
Was verbleibt denn, wenn die Teilefolgen jeweils gegen 0 laufen?
Gruß
Loddar
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Hallo enes.g,
> Wenn ich bei [mm]b_{n}[/mm] die [mm]2^n[/mm] ausklammere komme ich auf
> [mm]\bruch{n}{2^n*(1+n)}[/mm] Ist dies auch eine Nullfolge?
Dies ja, hat aber nix mit der Aufgabe b) zu tun!
Da musst du das Ausklammern aber noch üben!
Du bekamst den Tipp in Zähler und Nenner auszuklammern:
[mm]\frac{n}{2^n+n}=\frac{2^n\cdot{}\frac{n}{2^n}}{2^n\cdot{}\left(1+\frac{n}{2^n}\right)}[/mm]
Nun kannst du [mm]2^n[/mm] kürzen:
[mm]=\frac{\frac{n}{2^n}}{1+\frac{n}{2^n}}[/mm]
Nun überlege, was denn [mm]\frac{n}{2^n}[/mm] für [mm]n\longrightarrow\infty[/mm] treibt ...
Wie das für [mm] $c_n$ [/mm] geht, hat reverend doch erklärt, klammere in Zähler und Nenner [mm] $n^{20}$ [/mm] aus.
Dass $n$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] divergiert, ist doch klar.
Gruß
schachuzipus
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