Folgen & Reihen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Goldaffe |
Hallo erstmal an alle. Habe mich soeben bei Euch im Forum registriert und freue mich schon hier mit zumachen.
Hab auch gleich mal ne Frage. Letzte Woch habe ich mit einem mathematischen Vorkurs für mein Physikstudium begonnen. In der letzten Stunde haben wir ein Übungsblatt zum Thema Folgen, Funktionen und Grenzwerte bekommen. Hiervon jetzt die Frage:
Sind die Folgen {an}, deren allgemeine Glieder durch die angegebenen Ausdrücke bestimmt sind, Nullfolgen? Wenn ja, bestimmen Sie eine Natürliche Zahl N ( [mm] \varepsilon) [/mm] so, dass |an| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > N ( [mm] \varepsilon) [/mm] gilt.
a) [mm] \bruch{1}{ \wurzel{n}} [/mm] (Die hier ist noch klar) mein Ergebnis ist N( [mm] \varepsilon)= \bruch{1}{\varepsilon^2}
[/mm]
b) [mm] \bruch{n}{n^3+n^2+1} [/mm] (ab hier bin ich dann schon Planlos)
c) [mm] \bruch{3}{\wurzel{n^2+1}}
[/mm]
d) [mm] \bruch{n+1}{n+2} [/mm] (und die hier ist wohl keine Nullfolge)
e) [mm] \bruch{1+\wurzel{n}}{n^3}
[/mm]
f) [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^3}+5n}
[/mm]
g) [mm] \bruch{\sin n + \cos^3 n}{\wurzel{n}}
[/mm]
h) [mm] \bruch{\sin n}{2+\wurzel[3]{n^5} }
[/mm]
i) [mm] \wurzel{n^2 +2}-\wurzel{n^2+1}
[/mm]
j) [mm] n(\wurzel{n^4 + 4} [/mm] - [mm] 2^2)
[/mm]
Es wäre wirklich nett wenn mir jemand das Prinzip erklären könnte und mir vielleicht einige Lösungsbeispiele nennt. Vielen Dank im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Eigentlich ist es ganz einfach. Um ertmal ne idee der folge zu bekommen, schaust du dir erstmal den Zähler und den Nenner an. Es gilt immer und ohne Ausnahme, wenn das n im Nenner eine höhere Potenz hat, dann ist die Folge eine Nullfolge. Sind Zähler und Nennerpotenz gleich handelt es sich meistens um eine Folge mit endlichem Grenzwert, wie du bei b) schon gut erkannt hast.
Meist hilft es auch einfach mal den Taschenrechner zu zücken und ein paar Große Zahlen als Test einzugeben.
die Folgen mit sin und cos sind auch nicht so schwer, da beide Funktionen nie größer als eins werden.
Den rest erreichst du mit umformen.
Bsp.:
b) [mm] \bruch{n}{n^{3}+n^{2}+1}=\bruch{n}{n*(n^{2}+n^{1}+ \bruch{1}{n})}=\bruch{1}{n^{2}+n^{1}+ \bruch{1}{n}}
[/mm]
nun ist eigentlich offensichtlich, dass es sich um eine Nullfolge handelt.
Nullfolge heißt ja auch nichts anderes, dass die Folge für große Zahlen nur noch Zahlen nahe der Null ergibt. Ich hoffe das hat dir geholfen.
|
|
|
| |
|
Hallo Martin !
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zur Ergänzung der anderen Antwort:
Wenn du so etwas formal beweisen willst, musst du deine Folgenglieder geschickt abschätzen, um dann durch die Vereinfachung leicht ein [mm]N(\epsilon)[/mm] zu bekommen.
Beispiel Aufgabe
c) [mm]a_n:=\bruch{3}{\wurzel{n^2+1}}[/mm]
Man fängt für sich immer erstmal mit der Ungleichungskette an:
[mm]a_n=\bruch{3}{\wurzel{n^2+1}} < \bruch{3}{\wurzel{n^2}} = \bruch{3}{n} \leq \bruch{3}{N(\epsilon)}[/mm]
Jetzt suchen wir ein [mm]N(\epsilon)[/mm], sodass [mm]\bruch{3}{N} \leq \epsilon[/mm] gilt. Wir können also ein N mit [mm]N \geq \bruch{3}{\epsilon}[/mm] nehmen, also einfach gleich [mm]N(\epsilon):=\bruch{3}{\epsilon}[/mm].
Wenn du dann den Beweis aufschreibst, kommt diese Wahl vorher hin:
"Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] und wähle [mm]N(\epsilon):=\bruch{3}{\epsilon}[/mm], dann gilt für alle [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n \geq N[/mm]:
[mm]|a_n-0|=a_n=\bruch{3}{\wurzel{n^2+1}} \red{<} \bruch{3}{\wurzel{n^2}} = \bruch{3}{n} \leq \bruch{3}{N(\epsilon)}=\bruch{3}{\bruch{3}{\epsilon}}=\epsilon[/mm]
Also ist die Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Nullfolge (=sie konvergiert gegen 0) [/mm]"
Beachte, dass du ein echtes "kleiner"-Zeichen (rot) in der Kette brauchst!
mfg
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Goldaffe |
Hallo Daniel,
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Leider hab ich die Aufgabe etwas anders verstanden als du. Für mich ist es so, dass man das N [mm] (\varepsilon) [/mm] finden soll ab welchem alle Folgenglieder größer sind als dieses Grenzfolgenglied N [mm] (\varepsilon) [/mm] und das in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon.
[/mm]
Ich habe für Aufgabe c) folgendes Ergebnis:
N [mm] (\varepsilon)=\wurzel{\bruch{9}{\varepsilon^2}-1}
[/mm]
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
!!
