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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Magehex |
| Aufgabe | | http://www.abload.de/img/an1xpdt5.jpg |
Hallo,
ich scheitere gerade bei der oben angegebenen Aufgabe - und zwar bei Teilen a,b und c)
Aufgabe a, wäre mein Ansatz zu zeigen, dass [mm] a_n_+_1 [/mm] < [mm] a_n_+_2 [/mm] ist.
Also [mm] \wurzel{c+a_n} [/mm] < [mm] \wurzel{c+a_n_+_1} [/mm] . Ich quadriere, kürze c und es bleibt [mm] a_n [/mm] < [mm] a_n+_1 [/mm] . Aber das kann so doch nicht richtig sein?
Bei Aufgabe b hab ich mir gedacht, dass, da [mm] a_n [/mm] steigend ist, [mm] a_n_+_1 [/mm] größer als [mm] a_n [/mm] sein muss und damit folgt: [mm] a_n [/mm] < [mm] a_n_+_1 \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{c}
[/mm]
Gut jetzt kann ich [mm] a_n_+_1 [/mm] einsetzen und die Ungleichung umformen wie ich will, ich komme auf kein Ergebnis.
Bei Aufgabe c hab ich nichtmal einen Ansatz.
Ich bin die ganze Zeit am überlegen, wie ich von [mm] a_n_+_1 [/mm] auf [mm] a_n [/mm] komme. Aber hier sehe und finde ich auch keinen Weg.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> http://www.abload.de/img/an1xpdt5.jpg
> Hallo,
> ich scheitere gerade bei der oben angegebenen Aufgabe - und
> zwar bei Teilen a,b und c)
>
> Aufgabe a, wäre mein Ansatz zu zeigen, dass [mm]a_n_+_1[/mm] <
> [mm]a_n_+_2[/mm] ist.
> Also [mm]\wurzel{c+a_n}[/mm] < [mm]\wurzel{c+a_n_+_1}[/mm] . Ich quadriere,
> kürze c und es bleibt [mm]a_n[/mm] < [mm]a_n+_1[/mm] . Aber das kann so doch
> nicht richtig sein?
Beweise die Monotonie mit vollständiger Induktion !!
>
> Bei Aufgabe b hab ich mir gedacht, dass, da [mm]a_n[/mm] steigend
> ist, [mm]a_n_+_1[/mm] größer als [mm]a_n[/mm] sein muss und damit folgt:
> [mm]a_n[/mm] < [mm]a_n_+_1 \le[/mm] 1+ [mm]\wurzel{c}[/mm]
> Gut jetzt kann ich [mm]a_n_+_1[/mm] einsetzen und die Ungleichung
> umformen wie ich will, ich komme auf kein Ergebnis.
Auch Aufagbenteil b) erledige mit vollständiger Induktion.
>
> Bei Aufgabe c hab ich nichtmal einen Ansatz.
Wenn Du a) und b) gezeigt hast, so ist die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergent nach dem Monotoniekriterium.
Sei a der Limes von [mm] (a_n).
[/mm]
Aus [mm] a_{n+1}= \wurzel{c+a_n} [/mm] folgt dann mit n [mm] \to \infty:
[/mm]
a= [mm] \wurzel{c+a}
[/mm]
Das führt auf eine quadratische Gleichung für a.
FRED
>
> Ich bin die ganze Zeit am überlegen, wie ich von [mm]a_n_+_1[/mm]
> auf [mm]a_n[/mm] komme. Aber hier sehe und finde ich auch keinen
> Weg.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:29 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Magehex |
Ist meine Vollständige Induktion bei Aufgabe b) so richtig?
[mm] a_n \le 1+\wurzel{c}
[/mm]
Vollständige Induktion nach n:
I.A. [mm] a_1 \le 1+\wurzel{c}
[/mm]
1 [mm] \le 1+\wurzel{c}
[/mm]
0 [mm] \le \wurzel{c}
[/mm]
I.S. [mm] a_n_+_1 \le 1+\wurzel{c}
[/mm]
[mm] \wurzel{c+a_n} [/mm] IV [mm] \le \wurzel{c+1+\wurzel{c}}
[/mm]
[mm] \wurzel{c+1+\wurzel{c}} \le 1+\wurzel{c}
[/mm]
[mm] c+1+\wurzel{c} \le 1+2\wurzel{c}+c
[/mm]
1 [mm] \le [/mm] 2
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Hallo,
das, was Du schreibst, ist so, wie es dasteht, für mich unkorrigierbar - auch wenn es sicher einen wahren Kern hat.
Es gibt keinerlei Hinweise darauf, wie die Zeilen auseinander hervorgehen.
Äquivalenzen? Dann müßte man Äquivalenzpfeile setzen.
Abschätzungen sind zu begründen.
Du solltest Dir schnell abgewöhnen, Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen zeigen zu wollen.
Das geht ziemlich leicht in die Hose.
Mach lieber Umgleichungsketten.
Hier müßte dann stehen [mm] a_{n+1}=...=...\le...\le...=...=...\le...=1+\wurzel{c},
[/mm]
und jede Gleichheit/Abschätzung wäre zu begründen.
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Magehex,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Diese Aufgabe wurde vor geraumer Zeit schon einmal hier ausführlich behandelt.
Gruß
Loddar
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