Form u. Norm des Funktionales < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Mi 14.05.2008 | | Autor: | verkackt |
| Aufgabe | Sei [mm] \IR^{n} [/mm] der n-dim euklidischer Raum versehen mit der Norm
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel=max [/mm] { [mm] |x_i| [/mm] ; i=1, ..., n }.Bestimmen Sie dei allgemeine Form eines stetigen linearen Funktionals auf [mm] \IR^{n} [/mm] und berechnen Sie dessen Norm. |
Hallo liebe Mathematiker,
ich beschäftige mich zur Zeit mit dieser Aufgabe.Ich glaub zwar, dass sie nicht so schwer wäre, aber verstehe ich überhaupt nicht, was hier mit allgemeiner Form gemeint ist.Es wäre super nett, wenn einer mir weiter helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mi 14.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Ist Dir klar, dass auf dem [mm] R^n [/mm] jedes lineare Funktional stetig ist ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Do 15.05.2008 | | Autor: | verkackt |
Erstmal danke für die schnelle Antwort.
> Ist Dir klar, dass auf dem [mm]R^n[/mm] jedes lineare Funktional
> stetig ist ?
Ja aber ich dachte, dass ich eine explizite Form eingeben soll und nich die Eigenschaften!!!!!!!
lg.V.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Do 15.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich wollte Dir nur sagen, dass Du nicht unterscheiden mußt zwischen "lin. Funktional" und "stetigem lin. Funktional".
Da alle Normen auf dem [mm] R^n [/mm] äquivalent sind kommt es bei der Darstellung von lin. Funktionalen nicht auf die Norm an. Hilft Dir das ? Wie sehen die Funktionale bezgl. der euklidischen Norm aus ?
Die Norm des Funktionals hängt natürlich von der Norm auf [mm] R^n [/mm] ab !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Do 15.05.2008 | | Autor: | verkackt |
Also, ich hab jetzt folgendes raus:
[mm] x\in \IR^n \Rightarrow x=(x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , ..., [mm] x_n) \Rightarrow x=\summe_{i=1}^{n}x_i e_i \Rightarrow [/mm] sei f ein Funktional auf [mm] \IR^n [/mm] , [mm] f=\summe_{i=1}^{n}x_i c_i [/mm] wobei [mm] c_i =f(e_i) [/mm] und c [mm] \in \IR^n.
[/mm]
Und für die Norm hab ich folgendes: [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel= (\summe_{i=1}^{n} [/mm] ( [mm] c_i )^2 )^{\bruch{1}{2}} [/mm] aber das ist, wenn man das Funktional bzgl. der euklidischen Norm betrachtet.Kann man bzgl. max-Norm dann schreiben: [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel= [/mm] max [mm] |c_i| [/mm] ? *
* :wobei ich das noch beweisen soll, falls es richtig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Do 15.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Darstellung deines Funktionals ist richtig !
Die Norm ist falsch
Zeige: ||f|| = Summe der Beträge Deiner Koeffizienten in der Darstellung von f
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 18.05.2008 | | Autor: | verkackt |
Hi Fred, erstmal vielen dank für deine Antwort.
> Zeige: ||f|| = Summe der Beträge Deiner Koeffizienten in
> der Darstellung von f
Ich hab es versucht und hab folgendes für eine Richtung raus:
[mm] \parallel [/mm] f(x) [mm] \parallel=\parallel \summe_{i=1}^{n} x_i c_i \parallel \le [/mm] max [mm] |x_i|*\summe_{i=1}^{n}|c_i|= \parallel [/mm] x [mm] \parallel \summe_{i=1}^{n}|c_i| [/mm]
Also [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel \le \summe_{i=1}^{n}c_i [/mm]
Für die andere Richtung muss ich jetzt ein Element finden, wofür gilt:
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel \ge \summe_{i=1}^{n}c_i [/mm]
Hier komm ich leider nicht mehr weiter, obwohl ich viel ausprobiert hab.
Es wäre super, wenn jemand mir ein Tipp geben könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ist die Norm nicht definiert durch ||f|| = [mm] {sup}\bruch{||f(x)||}{||x||}.
[/mm]
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