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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 16.11.2008 | | Autor: | Shelli |
| Aufgabe | | Finden Sie eine einfache Formel für det [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a² & b² & c² }, [/mm] ebenso für die analoge 4x4 Determinante. |
Hat jemand eine Idee?
Ich komme hier leider gar nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand mit einem Ansatz weiterhelfen?
Wieso kann man nicht einfach wie bisher det [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a² & b² & c² } [/mm] = 1bc²+1ca²+1ab²-(1ba²+1ac²+1cb²) verwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 So 16.11.2008 | | Autor: | xPae |
Guten Tag,
Vielleicht weil du die Regel von Sarrus nicht mehr bei 4x4 Determinante benutzen kannst. (funktioniert nur bei 3x3)
Weiss nicht , ob das gemeint ist, aber hätte jetzt einfach nach einer bestimmt Zeile oder Spalte entwickelt.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 16.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Shelli,
Deine Lösung ist ja erst mal richtig. Der Aufgabensteller hat sich aber wohl vorgestellt, dass man den Ausdruck, der aus der Sarrusschen Regel herauskommt, nochmal umformt. Man kann ihn tatsächlich durch faktorisieren in ein Produkt aus 3 Faktoren zerlegen, in denen dann a, b und c linear vorkommen. Das gleiche gilt für den 4-dimensionalen Fall, hier kommt eine Formel mit 6 Faktoren ebenfalls aus linearen Bestandteilen von a, b, c und d heraus.
Ob einen das vom Hocker reisst ...
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 16.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Ja das klingt schon mal sehr gut, aber wie könnte das in etwa aussehen? Ausklammern hilft da ja nicht weiter oder? Gibts dafür ne allgemeine Formel? Ich meine, kennst du die Aufgabe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 So 16.11.2008 | | Autor: | Schneuzle |
ich würde die aufgabe mit dem laplaceschem antwicklungssatz machen!
geht das dann?
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Hallo,
ich denke, daß Ihr det $ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a² & b² & c² }, [/mm] $ mithilfe der Regeln bzgl. Zeilen- und Spaltenoperationen, die Ihr sicher gelernt habt, vereinfachen und ausrechnen sollt:
det [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a² & b² & c² }=det \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a -a& b-a & c -a\\ a²-a^2 & b² -a^2& c² -a^2}=det \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0& b-a & c -a\\ 0& b² -a^2& c² -a^2} [/mm] = det [mm] \pmat{ b-a & c -a\\ b² -a^2& c² -a^2} [/mm] = (b-a)(c-a)det [mm] \pmat{ 1 & 1\\ b+a& c+a}= [/mm] (b-a)(c-a)(c-b).
Die andere mach jetzt aber allein!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Natürlich haben wir Zeilen- und Spaltenoperationen gemacht, aber dennoch verstehe ich nicht ganz was du da gemacht hast. Z.B. wusste ich nicht, dass man die erste Spalte und Zeile weglassen darf, wenn nur noch null da steht. Außerdem verstehe ich deinen vorletzten Schritt nicht.
Ich versuchs jetzt einfach mal mit der zweiten so weit ich komme:
det [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a² & b² & c² & d² \\ a³ & b³ & c³ & d³ } [/mm] = det [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ a-a & b-a & c-a & d-a \\ a²-a² & b²-a² & c²-a² & d²-a² \\ a³-a³ & b³-a³ & c³-a³ & d³-a³ } [/mm] = det [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & b-a & c-a & d-a \\ 0 & b²-a² & c²-a² & d²-a² \\ 0& b³-a³ & c³-a³ & d³-a³ }= [/mm] det [mm] \pmat{ b-a & c-a & d-a \\ b²-a² & c²-a² & d²-a² \\ b³-a³ & c³-a³ & d³-a³ }
[/mm]
So weiter komme ich leider nicht, da ich nicht weiß was nun erlaubt ist und was nicht. Kann jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mo 17.11.2008 | | Autor: | jos3n |
warum entwickelst du nicht einfach nach zeile/spalte?? ist in vielen fällen viel einfacher als umforken, finde ich:
det [mm] \pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p} [/mm] = [mm] a*det\pmat{ f & g & h \\ j & k & l \\ n & o & p } [/mm] - [mm] b*det\pmat{ e & g & h \\ i & k & l \\ m & o & p } [/mm] + [mm] c*det\pmat{ e & f & h \\ i & j & k \\ m & n & p } -d*det\pmat{ e & f & g \\ i & j & k \\ m & n & o }
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Super danke für die Tipps!
Ich versuchs mal weiter mit der zweiten:
Ich bin bis det [mm] \pmat{ b-a & c-a & d-a \\ b²-a² & c²-a² & d²-a² \\ b³-a³ & c³-a³ & d³-a³ } [/mm] gekommen.
Dann habe ich nur noch ne 3x3 Matrix und diese kann ich ja dann mit der Regel von Sarrus ausrechnen oder?
Dann kommt raus:
[(b-a)(c²-a²)(d³-a³) + (c-a)(d²-a²)(b³-a³) + (d-a)(b²-a²)(c³-a³)] - [(d-a)(c²-a²)(b³-a³) + (c-a)(b²-a²)(d³-a³) + (b-a)(d²-a²)(c³-a³)]
Den ganze Kram durch (b-a), (c-a) und (d-a) dividieren:
[(c-a)(d²-a²) + (d-a)(b²-a²) + (b-a)(c²-a²)] - [(c-a)(b2-a²) + (b-a)(d²-a²) + (d-a)(c²-a²)]
Das wäre dann meine einfachste Formel. Gehts noch weiter?? Man könnte noch ein bisschen ausklammern, aber bringts das wirklich?
Ich versuchs mal:
(c-a)(d²-b²) + (d-a)(b²-c²) + (b-a)(c²-d²)
Stimmt das? Ich hoffe, ich hab mich mit den Vorzeichen nicht vertan?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Mi 19.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Natürlich haben wir Zeilen- und Spaltenoperationen gemacht,
> aber dennoch verstehe ich nicht ganz was du da gemacht
> hast. Z.B. wusste ich nicht, dass man die erste Spalte und
> Zeile weglassen darf, wenn nur noch null da steht.
Hallo,
das war die Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte - solltest Du kennen.
>Außerdem
> verstehe ich deinen vorletzten Schritt nicht.
Ich habe Faktoren, die jeweils in der ganzen Spalte vorkamen herausgezogen. Einen aus der ersten Spalte und den anderen aus der zweiten.
>
> Ich versuchs jetzt einfach mal mit der zweiten so weit ich
> komme:
>
> det [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a² & b² & c² & d² \\ a³ & b³ & c³ & d³ }[/mm]
> = det [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ a-a & b-a & c-a & d-a \\ a²-a² & b²-a² & c²-a² & d²-a² \\ a³-a³ & b³-a³ & c³-a³ & d³-a³ }[/mm]
> = det [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & b-a & c-a & d-a \\ 0 & b²-a² & c²-a² & d²-a² \\ 0& b³-a³ & c³-a³ & d³-a³ }=[/mm]
> det [mm]\pmat{ b-a & c-a & d-a \\ b²-a² & c²-a² & d²-a² \\ b³-a³ & c³-a³ & d³-a³ }[/mm]
>
> So weiter komme ich leider nicht, da ich nicht weiß was nun
> erlaubt ist und was nicht. Kann jemand weiterhelfen?
Das ist nicht falsch, aber ich glaube, es ist nicht so geschickt. Subtrahiere mal in der n-ten Zeile jeweils das a-fache der Vorhergehenden:
det [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a² & b² & c² & d² \\ a³ & b³ & c³ & d³ }[/mm]
=det [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & b-a & c-a& d-a \\ 0& b(b-a) & c(c-a)& d(d-a)\\ 0 & b^2(b-a)) & c^2(c-a) & d^2(d-a)}[/mm]
jetzt entwickeln nach de rersten Spalte, anschließend Faktoren aus der neuen Det. herausziehen ergibt
...(b-a)(c-a)(d-a)det [mm]\pmat{ 1& 1&1\\ b & c& d\\ b^2 & c^2) & d^2}[/mm] , und die letzte Determinante kennst Du ja schon.
Gruß v. Angela
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> Finden Sie eine einfache Formel für det [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a² & b² & c² },[/mm]
> ebenso für die analoge 4x4 Determinante.
> Hat jemand eine Idee?
> Ich komme hier leider gar nicht weiter. Vielleicht kann
> mir jemand mit einem Ansatz weiterhelfen?
>
> Wieso kann man nicht einfach wie bisher det [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a² & b² & c² }[/mm]
> = 1bc²+1ca²+1ab²-(1ba²+1ac²+1cb²) verwenden?
Hallo Shelli,
man kann das mit etwas elementarer Algebra,
etwas Probieren und etwas Geduld auch so
schaffen. Bei einer Vereinfachung des Aus-
drucks kann es ja hier nur um Faktorisierung
gehen, also ist das Ziel klar. Fangen wir
mal an:
[mm] bc^2+ca^2+ab^2-ba^2-ac^2-cb^2
[/mm]
[mm] (a^2-b^2)*c+(a-b)*(-c^2-ab)
[/mm]
(man könnte durchaus auch anders anfangen;
dies ist nur zufällig die Möglichkeit, die
ich zuerst gesehen habe)
Aus [mm] (a^2-b^2) [/mm] und damit aus dem ganzen Term
kann man $\ (a-b)$ ausklammern:
[mm] (a-b)*\left[(a+b)*c-c^2-ab)\right]
[/mm]
[mm] (a-b)*\left[ac+bc-cc-ab\right]
[/mm]
[mm] (a-b)*\left[b*(c-a)-c*(c-a)\right]
[/mm]
[mm] (a-b)*\left[(b-c)*(c-a)\right]
[/mm]
$\ (a-b)*(b-c)*(c-a) $
LG
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