Formel Flächeninhalt Dreieck < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich benötige die Herleitung der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ABC im Dreidimensionalen Raum. Hier die Formel:
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{| \overrightarrow{AB}|²+| \overrightarrow{AC}|²-( \overrightarrow{AB}* \overrightarrow{AC})²} [/mm] |
Kann mir bitte bitte jemand die Herleitung der Formel erklären /aufschreiben. Es ist wichtig, da ich es als Hausaufgabe machen soll, aber nirgends die Formel finde...:(
Vielen Dank schonmal!
MfG
Lisa
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Ok, danke für den ansatz :)
Mein Lehrer meinte dazu auch noch als Hinweis, dass sin² + cos² = 1 wäre.
Die einzigen Gedanken die ich dazu hatte, waren, dass ich dabei auf den Satz des Phytagoras zurückgreife, wo im Rechtwinkligen Dreieck ja allgemein bekannt a² + b² = c² ergeben;) Den Kosinussatz kann man aber ja bei jedem Dreieck verwenden *erkenntnis* (Danke informix :) )
Ich schreib ihn hier nochmal hin, damit man nicht immer den Link klicken muss:
[mm] c²=a²+b²-2*a*b*cos\gamma
[/mm]
Seid mir nicht böse wenn ich mit meinem denken falsch liege aber in meiner Formel wäre vergleichsweise a² ja | [mm] \overrightarrow{AB}|² [/mm] sowie demnach b² [mm] |\overrightarrow{AC}|²
[/mm]
Vielleicht helfen jmd von euch noch diese Ansätze weiter, ich gehe jetzt erstmal schlafen...Gute Nacht!
|
|
|
| |
|
Guten Morgen,
> Ok, danke für den ansatz :)
> Mein Lehrer meinte dazu auch noch als Hinweis, dass sin² +
> cos² = 1 wäre.
> Die einzigen Gedanken die ich dazu hatte, waren, dass ich
> dabei auf den Satz des Phytagoras zurückgreife, wo im
> Rechtwinkligen Dreieck ja allgemein bekannt a² + b² = c²
> ergeben;) Den Kosinussatz kann man aber ja bei jedem
> Dreieck verwenden *erkenntnis* (Danke informix :) )
> Ich schreib ihn hier nochmal hin, damit man nicht immer
> den Link klicken muss:
>
> [mm]c²=a²+b²-2*a*b*cos\gamma[/mm]
>
> Seid mir nicht böse wenn ich mit meinem denken falsch liege
> aber in meiner Formel wäre vergleichsweise a² ja |
> [mm]\overrightarrow{AB}|²[/mm] sowie demnach b²
> [mm]|\overrightarrow{AC}|²[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Zur besseren Vorstellung solltest du bei den "normalen" Bezeichnungen bleiben:
[mm] $\overrightarrow [/mm] {AB} = c [mm] \ldots$ [/mm]
Ich benötige die Herleitung der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ABC im Dreidimensionalen Raum. Hier die Formel:
$ [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{| \overrightarrow{AB}|²+| \overrightarrow{AC}|²-( \overrightarrow{AB}\cdot{} \overrightarrow{AC})²} [/mm] $
Damit übersetzt du diese Formel:
[mm] $\bruch{1}{2}\wurzel{c^2+b^2- (c*b)^2}$
[/mm]
und vergleichst sie mit der allg. Flächenformel:
$F = [mm] \bruch{1}{2}c*h$
[/mm]
Irgendwie habe ich das Gefühl, dass deine Formel nicht stimmen kann.
Es fehlt die zweite Dimension: der Wert der Wurzel ergibt LE, herauskommen muss als Fläche aber [mm] (LE)^2.
[/mm]
Bitte überprüfe zunächst mal deine Formel, soll das Ergebnis dieser Rechnung tatsächlich die Fläche des Dreiecks sein?!
Gruß informix
p.s. Ich werde erst Montagabend wieder hier sein; wer macht weiter?
|
|
|
| |
|
Ich glaube ich habe den Fehler gefunden... in der Formel von mir sind [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] nicht durch ein normales * verbunden sondern durch ein "sternchen",
was ja bedeutet dass ich wenn ich z.b. die Vektoren AB (1/6/3) und AC (1/1/5) habe, dass ich dann die erste Koordinate von AB mit der ersten von AC multiplizieren muss, die 2. von AB mit der 2. von AC usw. (Am Ende kommt bei dem Bsp. dann 0+30+(-6) heraus und das zusammengerechnet gibt dann 24. So prüft man - soweit ich gelernt habe - z.b. die Rechtwinkligkeit zweier sich schneidender Geraden (wenn 0 herauskäme wäre es ein rechter Winkel)).
Das ganze ist dann ja das Skalarprodukt....
Ich hoffe mir kann jetzt geholfen werden...
P.S.: ich hab das Zeichen auch jetzt hier unten gefunden ( [mm] \* [/mm] ), SORRY!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 So 05.03.2006 | | Autor: | riwe |
die formel ist sicher falsch.
A(0/0/0), B(1/0/0) und C(0/1/0)
fläche [mm]A = \frac{1}{2}[/mm], wie man im kopf ausrechnet.
fläche nach der formel [mm] A=\frac{\sqrt{2}}{2}[/mm]
|
|
|
| |
|
Naja wir haben schon eine Probeaufgabe zu der Formel gerechnet, ich schreibe sie mal auf:
Gegeben ist das Dreieck ABC:
[mm] A=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}, B=\vektor{0 \\ 5 \\ -2}, C=\vektor{0 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
Man errechne zuerst den Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 4 \\ -3} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Nun quadriere man die beiden Vektoren wie für die Formel notwendig, dann wäre
[mm] |\overrightarrow{AB}|² [/mm] = 29 und [mm] |\overrightarrow{AC}|² [/mm] = 9
Es fehlt noch das Einsetzen von [mm] (\overrightarrow{AB} \* \overrightarrow{AC})² [/mm] in die Formel:
Also errechne man das Skalarprodukt, das da wäre = 36
Nun setzt man alles in dir Formel ein, also
A = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{29+9-36}
[/mm]
A= [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{2}
[/mm]
So haben wirs zumindest durchgerechnet... also muss die Formel ja stimmen, nur wo kommt sie her, wie ist die Herleitung???
|
|
|
| |
|
@riwe... ich habe deine Aufgabe auch nochmal durchgerechner und du hast Recht... nur wie rechnest du das im Kopf aus, wenn ich fragen darf???
Ich werde am Besten morgen mal meinem Mathelehrer die Aufgabe zeigen und sie in Frage stellen, trotzdem: wenn jmd die Herleitung weiß, bitte melden;) Denn irgendwer muss ja mal auf die Idee gekommen sein..
Gute Nacht
|
|
|
| |
|
Ihr hattet recht, das geht so nicht!!!
Ich hab den Fehler gefunden! Mein Lehrer hat einen Zeichenfehler an die Tafel geschrieben und zwar kommt vorne kein + sondern ein * hin, also die richtige Formel:
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{| \overrightarrow{AB}|² * | \overrightarrow{AC}|² - ( \overrightarrow{AB} \* \overrightarrow{AC})²}
[/mm]
Nun habe ich auch den Lösungsweg finden können, also die Herleitung :)
Die da wäre: Man nehme die andere Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ABC
[mm] F=\bruch{1}{2}g*h [/mm] also die "Grundseite mal Höhe durch 2"
Jetzt weiß man ja, dass
[mm] \bruch{Gegenkathete}{Hypothenuse}=sin\alpha [/mm]
ist. Also stellt man die Formel für unsere Herleitung um:
[mm] \bruch{h}{| \overrightarrow{AC}|}=sin\alpha
[/mm]
Jetzt wissen wir ja auch, dass in der Formel ein Skalarpodukt berechnet wird
[mm] (\overrightarrow{AB}\*\overrightarrow{AC})²
[/mm]
Im genauen errechnet sich das Skalarprodukt also so:
[mm] \bruch{\overrightarrow{AB}\*\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|*| \overrightarrow{AC}|}=cos\alpha
[/mm]
also ist [mm] \overrightarrow{AB}\*\overrightarrow{AC}= |\overrightarrow{AB}|*| \overrightarrow{AC}|*cos\alpha
[/mm]
Nun setzen wir einfach die Sachen in die Formel ein:
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{|\overrightarrow{AB}|²*|\overrightarrow{AC}|²-(|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|*cos\alpha)²}
[/mm]
Da ja nun AB und AC sowohl in als auch vor den Klammern sind kann man das ganze ja direkt aus der Wurzel "herausnehmen", also so:
[mm] \bruch{1}{2}|\overrightarrow{AB}|²*|\overrightarrow{AC}|²\wurzel{1-(cos\alpha)²}
[/mm]
Jetzt erkennt man und kann vereinfachen, dass:
[mm] (1-cos\alpha)² [/mm] -> [mm] (sin\alpha)²
[/mm]
Außerdem fällt dann die Wurzel weg, weil man einmal die Wurzel zieht und dann alles quadriert, wäre ja unnötig;)
Also sieht die Formel wie folgt aus:
[mm] \bruch{1}{2}|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|*sin\alpha
[/mm]
Und nun erkennt man noch eine vereinfachung:
[mm] |\overrightarrow{AC}|*sin\alpha=h [/mm] (siehe die umgestellte Formel oben)
ALSO:
[mm] \bruch{1}{2}|\overrightarrow{AB}|*h [/mm] <=> [mm] \bruch{1}{2}g*h
[/mm]
Beweis: Die Formel kann ebenfalls zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks ABC angewendet werden :):):)
Ich danke euch allen trotzdem für eure Aufmerksamkeit und Hilfe!!!
P.S.: jetzt kann ich diese Bezeichnungen für die Mathematischen Symbole quasi auswendig:P
|
|
|
|
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Kosinussatz![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
