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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Di 27.09.2011 | | Autor: | realScav |
| Aufgabe | | [mm] \delta=\alpha-\gamma+arcsin(sin(\alpha)\wurzel{n^2-sin(\alpha)}-cos(\gamma)sin(\alpha)) [/mm] |
Servus...
Hat jemand eine Idee wie ich die obige Formel für [mm] \delta=20 [/mm] nach [mm] \alpha [/mm] oder [mm] \gamma [/mm] aufgelößt bekomme?
Also es interessiert nur der Realteil.
schönen Gruß
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Hallo realScav,
das ist eine eigenartige Gleichung. Wo kommt sie her? Welche Beziehung stellt sie dar?
> [mm]\delta=\alpha-\gamma+arcsin(sin(\alpha)\wurzel{n^2-sin(\alpha)}-cos(\gamma)sin(\alpha))[/mm]
> Servus...
>
> Hat jemand eine Idee wie ich die obige Formel für
> [mm]\delta=20[/mm] nach [mm]\alpha[/mm] oder [mm]\gamma[/mm] aufgelößt bekomme?
auflösen [mm] \to [/mm] aufgelöst
Eine Auflösung nach [mm] \alpha [/mm] sieht schwierig aus, dürfte aber auch möglich sein.
Hier erstmal der Weg für die Auflösung nach [mm] \gamma. [/mm] Beachte die Bemerkung am Ende.
[mm] \delta-\alpha+\gamma=\arcsin{(\sin{(\alpha)}\wurzel{n^2-\sin{(\alpha)}}-\cos{(\gamma)}\sin{\alpha})}
[/mm]
[mm] \sin{(\delta-\alpha+\gamma)}=\sin{(\alpha)}\wurzel{n^2-\sin{(\alpha)}}-\cos{(\gamma)}\sin{\alpha}
[/mm]
[mm] \sin{(\delta-\alpha)}\cos{(\gamma)}+\cos{(\delta-\alpha)}\sin{(\gamma)}=\sin{(\alpha)}\wurzel{n^2-\sin{(\alpha)}}-\cos{(\gamma)}\sin{\alpha}
[/mm]
So, jetzt noch [mm] \sin{(\gamma)}=\wurzel{1-\cos^2{(\gamma)}} [/mm] ersetzen, und Du bekommst mit ein wenig Hin und Her eine quadratische Gleichung in [mm] \cos{(\gamma)}.
[/mm]
Aber Achtung. Im Verlauf der Rechnung sind nicht alle Umformungen Äquivalenzumformungen. Achte also genau darauf, wo Du Lösungen ausschließt oder unverdient hinzugewinnst, und mach auf jeden Fall am Ende eine Probe.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Di 27.09.2011 | | Autor: | realScav |
Hey super diese Umformung in deinem 3. Schritt ab ich gesucht. Ich hab leider 2 Fehler beim eingeben der Formel gemacht. Sie lautet eigentlich so:
[mm] \delta=\alpha-\gamma+arcsin(sin(\gamma)\wurzel{n^2-(sin(\alpha))^2}-cos(\gamma)sin(\alpha)) [/mm]
(Die Formel beschreibt den Ablenkwinkel eines Lichtstrahls duch ein Prisma)
Wenn ich nach deinem 3. Schritt weitermache komme ich auf...
[mm] \sin{(\delta-\alpha)}\cos{(\gamma)}+\cos{(\delta-\alpha)}\sin{(\gamma)}=\sin{(\gamma)}\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}}-\cos{(\gamma)}\sin{\alpha}
[/mm]
[mm] \cos{(\delta-\alpha)}\sin{(\gamma)}-\sin{(\gamma)}\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}}=-\cos{(\gamma)}\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)}\cos{(\gamma)}
[/mm]
[mm] \sin{(\gamma)}(\cos{(\delta-\alpha)}-\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}})=-\cos{(\gamma)}(\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)})
[/mm]
[mm] \tan{(\gamma)}(\cos{(\delta-\alpha)}-\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}})=-\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)}
[/mm]
[mm] \tan{(\gamma)}=-\bruch{\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)}}{(\cos{(\delta-\alpha)}-\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}})}
[/mm]
Is da ein Fehler drinnen? oder Bekomme ich da Probleme mit den Äquivalenzumformungen? Denn wenn ich /alpha=30° und /gamma=40° einsetze sollte /delta=20° rauskommen. Das kommt nach der Umformung aber leider nicht mehr hin.
Gruß
S
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Hallo nochmal,
> Hey super diese Umformung in deinem 3. Schritt ab ich
> gesucht. Ich hab leider 2 Fehler beim eingeben der Formel
> gemacht. Sie lautet eigentlich so:
>
> [mm]\delta=\alpha-\gamma+arcsin(sin(\gamma)\wurzel{n^2-(sin(\alpha))^2}-cos(\gamma)sin(\alpha))[/mm]
>
> (Die Formel beschreibt den Ablenkwinkel eines Lichtstrahls
> duch ein Prisma)
Ah. Lang her bei mir, aber da klingelt irgendwas. Was war n?
> Wenn ich nach deinem 3. Schritt weitermache komme ich
> auf...
>
> [mm]\sin{(\delta-\alpha)}\cos{(\gamma)}+\cos{(\delta-\alpha)}\sin{(\gamma)}=\sin{(\gamma)}\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}}-\cos{(\gamma)}\sin{\alpha}[/mm]
>
>
> [mm]\cos{(\delta-\alpha)}\sin{(\gamma)}-\sin{(\gamma)}\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}}=-\cos{(\gamma)}\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)}\cos{(\gamma)}[/mm]
>
>
>
> [mm]\sin{(\gamma)}(\cos{(\delta-\alpha)}-\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}})=-\cos{(\gamma)}(\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)})[/mm]
Auf der rechten Seite gehört ein Plus in die Klammer.
> [mm]\tan{(\gamma)}(\cos{(\delta-\alpha)}-\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}})=-\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)}[/mm]
Das stimmt wundersamerweise wieder.
> [mm]\tan{(\gamma)}=-\bruch{\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)}}{(\cos{(\delta-\alpha)}-\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}})}[/mm]
Und hier wieder nicht. Auf dem Bruchstrich muss ein + sein.
> Is da ein Fehler drinnen? oder Bekomme ich da Probleme mit
> den Äquivalenzumformungen? Denn wenn ich /alpha=30° und
> /gamma=40° einsetze sollte /delta=20° rauskommen. Das
> kommt nach der Umformung aber leider nicht mehr hin.
Hm. Wenn ich [mm] \alpha=30^{\circ} [/mm] und [mm] \delta=20^{\circ} [/mm] einsetze, kommt [mm] \gamma=-70^{\circ} [/mm] heraus. Da der Tangens [mm] \pi-periodisch [/mm] ist, könnten das auch [mm] \gamma=110^{\circ} [/mm] sein, aber das stimmt beides nicht mit Deiner Vorgabe überein.
Diese glatten Werte gibt es übrigens nur für n=1, ansonsten natürlich andere.
Ich lasse die Frage mal halboffen; einen weiteren Fehler sehe ich da gerade nicht.
Grüße
reverend
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Hallo realScav,
> Hey super diese Umformung in deinem 3. Schritt ab ich
> gesucht. Ich hab leider 2 Fehler beim eingeben der Formel
> gemacht. Sie lautet eigentlich so:
>
> [mm]\delta=\alpha-\gamma+arcsin(sin(\gamma)\wurzel{n^2-(sin(\alpha))^2}-cos(\gamma)sin(\alpha))[/mm]
>
> (Die Formel beschreibt den Ablenkwinkel eines Lichtstrahls
> duch ein Prisma)
>
>
> Wenn ich nach deinem 3. Schritt weitermache komme ich
> auf...
>
> [mm]\sin{(\delta-\alpha)}\cos{(\gamma)}+\cos{(\delta-\alpha)}\sin{(\gamma)}=\sin{(\gamma)}\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}}-\cos{(\gamma)}\sin{\alpha}[/mm]
>
>
> [mm]\cos{(\delta-\alpha)}\sin{(\gamma)}-\sin{(\gamma)}\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}}=-\cos{(\gamma)}\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)}\cos{(\gamma)}[/mm]
>
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>
> [mm]\sin{(\gamma)}(\cos{(\delta-\alpha)}-\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}})=-\cos{(\gamma)}(\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)})[/mm]
>
>
> [mm]\tan{(\gamma)}(\cos{(\delta-\alpha)}-\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}})=-\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)}[/mm]
>
>
> [mm]\tan{(\gamma)}=-\bruch{\sin{\alpha}-\sin{(\delta-\alpha)}}{(\cos{(\delta-\alpha)}-\wurzel{n^2-\((sin{(\alpha))^2}})}[/mm]
>
>
> Is da ein Fehler drinnen? oder Bekomme ich da Probleme mit
> den Äquivalenzumformungen? Denn wenn ich /alpha=30° und
> /gamma=40° einsetze sollte /delta=20° rauskommen. Das
> kommt nach der Umformung aber leider nicht mehr hin.
>
Ausser dem von reverend bemerkten Fehler ist kein Fehler drin.
Die von Dir genannten Vorgabewerte, werden für ein krummes n erreicht:
[mm]n=1.461902200081544...[/mm]
> Gruß
> S
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Mi 28.09.2011 | | Autor: | realScav |
Ja habs auch nochmal eigegeben,.. hatte dann wohl einen Fehler bei der Eingabe gemacht. So stimmts auf jeden Fall. Super.
Mit n ist übrigends der reele Brechungsindex gemeint also sowiso ne krumme Zahl.
Gruß
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