Formel beweisen (sin/cos/tan) < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Di 20.11.2007 | | Autor: | andihit |
| Aufgabe | [mm]\frac{cos(2x)}{1+cos(2x)} = \frac{1}{2}*(1-tan^2(x))[/mm]
Beweise die Richtigkeit dieser Formel. |
Ich nehm die linke Seite zum Prüfen:
Da [mm]cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x)[/mm] ist:
[mm]\frac{cos^2(x)-sin^2(x)}{1+cos^2(x)-sin^2(x)}[/mm]
dann ändere ich die Reihenfolge im Nenner
[mm]\frac{cos^2(x)-sin^2(x)}{1-sin^2(x)+cos^2(x)}[/mm]
und da [mm] sin^2(x)+cos^2(x) = 1[/mm] ist, kann ich im Zähler statt [mm] cos^2(x) [/mm] einfach [mm] 1-sin^2(x)[/mm] einsetzen:
[mm]\frac{1-sin^2(x)}{1-sin^2(x)} - tan^2(x)[/mm]
daher:
[mm]1-tan^2(x)[/mm]
Aber die rechte Hälfte sieht etwas anders aus :(.
Vielen Dank für Antworten!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Di 20.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> [mm]\frac{cos(2x)}{1+cos(2x)} = \frac{1}{2}*(1-tan^2(x))[/mm]
>
> Beweise die Richtigkeit dieser Formel.
> Ich nehm die linke Seite zum Prüfen:
>
> Da [mm]cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x)[/mm] ist:
>
> [mm]\frac{cos^2(x)-sin^2(x)}{1+cos^2(x)-sin^2(x)}[/mm]
> dann ändere ich die Reihenfolge im Nenner
> [mm]\frac{cos^2(x)-sin^2(x)}{1-sin^2(x)+cos^2(x)}[/mm]
> und da [mm]sin^2(x)+cos^2(x) = 1[/mm] ist, kann ich im Zähler statt
> [mm]cos^2(x)[/mm] einfach [mm]1-sin^2(x)[/mm] einsetzen:
>
> [mm]\frac{1-sin^2(x)}{1-sin^2(x)} - tan^2(x)[/mm]
Hier hast du deinen Fehler gemacht:
[mm] $1+1-sin^2-sin^2=2-2sin^2=2(1-sin^2)$
[/mm]
Dann kommst du auch zu deinem Gewünschtem Ergebnis=)
LG
Kroni
>
> daher:
>
> [mm]1-tan^2(x)[/mm]
>
> Aber die rechte Hälfte sieht etwas anders aus :(.
>
> Vielen Dank für Antworten!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Di 20.11.2007 | | Autor: | andihit |
> Hi,
>
> > [mm]\frac{cos(2x)}{1+cos(2x)} = \frac{1}{2}*(1-tan^2(x))[/mm]
> >
> > Beweise die Richtigkeit dieser Formel.
> > Ich nehm die linke Seite zum Prüfen:
> >
> > Da [mm]cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x)[/mm] ist:
> >
> > [mm]\frac{cos^2(x)-sin^2(x)}{1+cos^2(x)-sin^2(x)}[/mm]
> > dann ändere ich die Reihenfolge im Nenner
> > [mm]\frac{cos^2(x)-sin^2(x)}{1-sin^2(x)+cos^2(x)}[/mm]
> > und da [mm]sin^2(x)+cos^2(x) = 1[/mm] ist, kann ich im Zähler
> statt
> > [mm]cos^2(x)[/mm] einfach [mm]1-sin^2(x)[/mm] einsetzen:
> >
> > [mm]\frac{1-sin^2(x)}{1-sin^2(x)} - tan^2(x)[/mm]
>
> Hier hast du deinen Fehler gemacht:
>
> [mm]1+1-sin^2-sin^2=2-2sin^2=2(1-sin^2)[/mm]
Wo ist dieser Fehler jetzt genau? Gleich in der 1. Zeile?
Dann habe ich
[mm]\frac{cos^2(x)-sin^2(x)}{2(1-sin^2(x))}[/mm]
und dann?
Oder, was ist bei den Zeilen 1-2 falsch? Da habe ich nur den Nenner umgestaltet ;)
Aber ich glaub das in der 3. Zeile ist dann falsch - bei den Summen darf ich
[mm]\frac{1-sin^2(x)-sin^2(x)}{1-sin^2(x)+cos^2(x)}[/mm]
nicht in
[mm]\frac{1-sin^2(x)}{1-sin^2(x)} - tan^2(x) [/mm] umwandeln.
Oder?
> Dann kommst du auch zu deinem Gewünschtem Ergebnis=)
>
> LG
>
> Kroni
> >
> > daher:
> >
> > [mm]1-tan^2(x)[/mm]
> >
> > Aber die rechte Hälfte sieht etwas anders aus :(.
> >
> > Vielen Dank für Antworten!
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Di 20.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es war bisher überall richtig, nur in der Zeile, wo du im Nenner [mm] cos^2 [/mm] durch [mm] 1-sin^2 [/mm] ausgedrück hast, hast du falsch gerechent. Das sollte meine Rechnung zeigen.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 20.11.2007 | | Autor: | andihit |
> es war bisher überall richtig, nur in der Zeile, wo du im
> Nenner [mm]cos^2[/mm] durch [mm]1-sin^2[/mm] ausgedrück hast, hast du falsch
> gerechent.
Ich habe im Nenner nie [mm]cos^2[/mm] durch [mm]1-sin^2[/mm] ausgedrück.
Ich habe lediglich statt
[mm]1+cos^2(x)-sin^2(x)[/mm]
[mm]1-sin^2(x)+cos^2(x)[/mm] geschrieben (nur die Reihenfolge verändert).
|
|
|
| |
|
Hallo Andihit,
> > es war bisher überall richtig, nur in der Zeile, wo du im
> > Nenner [mm]cos^2[/mm] durch [mm]1-sin^2[/mm] ausgedrück hast, hast du falsch
> > gerechent.
> Ich habe im Nenner nie [mm]cos^2[/mm] durch [mm]1-sin^2[/mm] ausgedrück.
>
> Ich habe lediglich statt
> [mm]1+cos^2(x)-sin^2(x)[/mm]
> [mm]1-sin^2(x)+cos^2(x)[/mm] geschrieben (nur die Reihenfolge
> verändert).
ja, das stimmt und Kroni hatte dir mitgeteilt, dass du den Nenner hättest nutzen sollen. Dein Fehler war folgender:
[mm] \bruch{1-sin^2(x)-sin^2(x)}{1-sin^2(x)+cos^2(x)}\not=\bruch{1-sin^2(x)}{1-sin^2(x)}-\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}
[/mm]
lass' deinen alten Zähler mit [mm] cos^2(x)-sin^2(x) [/mm] stehen, ersetze nach Kroni's Vorschlag im Nenner wieder [mm] 1-sin^2(x) [/mm] durch [mm] cos^2(x), [/mm] dann kannst du den Term trennen und erhältst dein Ergebnis. Ihr hattet nur aneinander vorbei geredet, mehr nicht 
Schönen Abend
Adamantan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 20.11.2007 | | Autor: | andihit |
> Hallo Andihit,
>
> > > es war bisher überall richtig, nur in der Zeile, wo du im
> > > Nenner [mm]cos^2[/mm] durch [mm]1-sin^2[/mm] ausgedrück hast, hast du falsch
> > > gerechent.
> > Ich habe im Nenner nie [mm]cos^2[/mm] durch [mm]1-sin^2[/mm] ausgedrück.
> >
> > Ich habe lediglich statt
> > [mm]1+cos^2(x)-sin^2(x)[/mm]
> > [mm]1-sin^2(x)+cos^2(x)[/mm] geschrieben (nur die Reihenfolge
> > verändert).
>
> ja, das stimmt und Kroni hatte dir mitgeteilt, dass du den
> Nenner hättest nutzen sollen. Dein Fehler war folgender:
>
> [mm]\bruch{1-sin^2(x)-sin^2(x)}{1-sin^2(x)+cos^2(x)}\not=\bruch{1-sin^2(x)}{1-sin^2(x)}-\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}[/mm]
>
> lass' deinen alten Zähler mit [mm]cos^2(x)-sin^2(x)[/mm] stehen,
> ersetze nach Kroni's Vorschlag im Nenner wieder [mm]1-sin^2(x)[/mm]
Dann hab ich
[mm]\frac{cos^2(x)-sin^2(x)}{2*cos^2(x)}[/mm]
> durch [mm]cos^2(x),[/mm] dann kannst du den Term trennen und
> erhältst dein Ergebnis.
Wie kann ich da den Term trennen?
Im Zähler hab ich ja ein Minus?
Ich könnte dann im Zähler noch
[mm]1-sin^2(x)-sin^2(x)[/mm] schreiben,
also:
[mm]\frac{1-2sin^2(x)}{2*cos^2(x)}[/mm]
Aber dann hab ich wieder ein Minus im Zähler.
|
|
|
| |
|
Hallo Andreas,
na, wie trennst du denn zB den Bruch [mm] \frac{a+b}{c} [/mm] ?
Doch in [mm] \frac{a}{c}+\frac{b}{c}
[/mm]
Genau das mache hier:
[mm] $\frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)}{2\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)}{2\cos^2(x)}-\frac{\sin^2(x)}{2\cos^2(x)}=....$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 20.11.2007 | | Autor: | andihit |
> Genau das mache hier:
> [mm]\frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)}{2\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)}{2\cos^2(x)}-\frac{\sin^2(x)}{2\cos^2(x)}=....[/mm]
>
und dann?
[mm]\frac{1}{2} - \frac{tan^2(x)}{2}[/mm]
hm ok..dann ist's fertig
thx!
|
|
|
|
