Formel finden < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Di 23.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man stelle sich ein Kartenhaus mit n Etagen vor,das auf einem Tisch gebaut wird (ganz unten werden keine Karten als Untergrund gelegt).
Für n=3 Etagen besteht das Kartenhaus aus 15 Spielkarten.
Man finde und beweise eine Formel für die Anzahl der Spielkarten,die man für ein Kartenhaus mit n Etagen benötigt, n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo,
ich versuche grad bei dieser Aufgabe weiterzukommen und hab mir auch schon einige Gedanken gemacht,aber ich komme nicht auf eine Formel.
Also wir haben für n=3 Etagen 15 Karten, für n=1 Etage haben wir logischerweise nur 2 Karten.Dann hab ich mal geschaut wie es für n=4,n=5 und n=6 aussieht und habe folgendes raus: n=4: 26 Karten, n=5: 40 Karten, n=6: 57 Karten.
So,ich hab zuerst versucht ein Regelmäßigkeit in der Anzahl der Karten zu finden,also ich hab zunächst ab der dritten Etage aus +11 Karten für die 4.Etage,somit hab ich für die 3. bis 6.Etage: +11,+14,+17 Karten.Da sehe ich aber keine Regelmäßigkeit.
Dann hab ich versucht eine Funktion aufzustellen,also sei f meine Funktion,dann hab ich folgende Werte f(3)=15, f(4)=26, f(5)=40, f(6)=57.
So,das Problem hierbei ist,dass ich keinen Funktionsgleichungsansatz habe.Es könnte also irgendeine Funktion sein.
Ich denke auf jeden Fall,dass in der Formel irgendwie der Anfangswert 2 rein muss,denn für n=1 gibt es 2 Karten.Also könnte man vielleicht einfach mit 2+...anfangen.
Aber ich weiß jetzt nicht wie ich weitermachen soll.
Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich weitermachen kann?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Di 23.11.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi!
Wenn man etwas rumprobiert komme ich auf:
[mm] $f(n)=\frac{n}{2}\cdot [/mm] (3n+1)$
Wobei n die Stockwerke sind und f(n) die Zahl der Karten.
Bin kein Mathematiker, aber kann man das mit vollständiger Induktion beweisen?
Gruß Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mi 24.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Christian,
die Formel ist richtig, und man kann sie mit vollständiger Induktion beweisen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi!
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> Wenn man etwas rumprobiert komme ich auf:
> [mm]f(n)=\frac{n}{2}\cdot (3n+1)[/mm]
> Wobei n die Stockwerke sind
> und f(n) die Zahl der Karten.
> Bin kein Mathematiker, aber kann man das mit
> vollständiger Induktion beweisen?
Wie bist du auf die Formel gekommen?
lg
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Hallo,
> > Wenn man etwas rumprobiert komme ich auf:
> > [mm]f(n)=\frac{n}{2}\cdot (3n+1)[/mm]
> > Wobei n die Stockwerke
> sind
> > und f(n) die Zahl der Karten.
>
> Wie bist du auf die Formel gekommen?
Na, das schreibt er doch: mit etwas Rumprobieren. Wenn man ein bisschen über die Entwicklung solcher dreieckigen Gebilde weiß, kommt man leicht darauf, dass [mm] f(n)=\bruch{a*b}{2} [/mm] ist, wobei einer der beiden Faktoren entweder (n-1), n oder (n+1) ist, und der andere auch linear in n, also (c*n+d).
Grüße
reverend
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Hallo,
das bedarf tatsächlich ein wenig überlegung. Gehen wir mal systematisch ran:
Also du hast das fundament immer bestehend aus kartenpaaren. Für n=3 bekommst du 6 karten die auf dem tisch stehen, für n=4 bekommst du 8 usw usf. für jede etage die es nach oben geht, werden das 2 weniger. Mit anderen Worten du hast für die aufrecht stehenden karten
[mm] 2n+(2n-2)+(2n-4)+...+2=2*(n+(n-1)+(n-2)+...+1)=2*\sum_{i=1}^{n}i
[/mm]
für die karten die waagerecht auf dem fundament hast du für n=3, 2 karten. in der nächsten etage noch eine. für n=4, hast du 3 dann 2 dann 1 usw usf. also hier wieder
[mm] (n-1)+(n-2)+...+1=\sum_{i=1}^{n-1}i
[/mm]
Insgesamt also:
[mm] 2*\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=...
[/mm]
Das kannst du selbst, denke ich :)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> das bedarf tatsächlich ein wenig überlegung. Gehen wir
> mal systematisch ran:
>
> Also du hast das fundament immer bestehend aus
> kartenpaaren. Für n=3 bekommst du 6 karten die auf dem
> tisch stehen, für n=4 bekommst du 8 usw usf. für jede
> etage die es nach oben geht, werden das 2 weniger. Mit
> anderen Worten du hast für die aufrecht stehenden karten
>
> [mm]2n+(2n-2)+(2n-4)+...+2=2*(n+(n-1)+(n-2)+...+1)=2*\sum_{i=1}^{n}i[/mm]
>
> für die karten die waagerecht auf dem fundament hast du
> für n=3, 2 karten. in der nächsten etage noch eine. für
> n=4, hast du 3 dann 2 dann 1 usw usf. also hier wieder
>
> [mm](n-1)+(n-2)+...+1=\sum_{i=1}^{n-1}i[/mm]
>
> Insgesamt also:
>
> [mm]2*\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=...[/mm]
>
> Das kannst du selbst, denke ich :)
Vielen Dank,du hättest mir auch einfach nur einen Tipp geben können oder eine Richtung zeigen können,wie ich die Formel aufstellen könnte,musstest nicht die Formel aufstellen,trotzdem danke =)
Also hab ich jetzt [mm] 2*\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=...
[/mm]
Darf ich die Summe [mm] \sum_{i=1}^{n-1}i [/mm] auch schreiben als [mm] \sum_{i=1}^{n-1}i=\sum_{i=1}^{n}i-1 [/mm] ?
Wenn nicht,dann muss ich es halt so lassen und beweisen,dass
[mm] k=2*\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i, [/mm] wobei k die Anzahl der Karten und n die Anzahl der Stockwerke ist.
Ich würde das mit vollständiger Induktion beweisen, aber dieses k auf der linken Seite stört mich ein wenig.Ich hab bisher immer Gleichungen mit vollst. Ind. bewiesen,wo auf beiden Seiten eine Summe stand,aber ich versuchs mal.
Induktionsanfang: n=1, dann hab ich k=2 raus,aber irgendwie erscheint mir das unlogisch,ich muss so ja eigentlich nichts beweisen,denn wenn ich für n eine Zahl einsetze kommt für k irgendwas raus,aber k steht so als konstante da also kann ich da auch nichts beweisen.
Kann ich das vielleicht so machen,dass ich mir die Formel umstelle,also
[mm] k-\sum_{i=1}^{n-1}i=2*\sum_{i=1}^{n}i [/mm] und versuchen das zu beweisen, dann ist k eine konstante?
lg
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Hallo,
schreib doch erstmal aus, was für einen wert diese summen haben. dann kriegst du eine formel die nur von abhängig ist, das kannst du dann mit vollständiger induktion beweisen, etwa wie
[mm] \sum_{i}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}
[/mm]
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 25.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> schreib doch erstmal aus, was für einen wert diese summen
> haben. dann kriegst du eine formel die nur von abhängig
> ist, das kannst du dann mit vollständiger induktion
> beweisen, etwa wie
>
> [mm]\sum_{i}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}[/mm]
>
Achso ja,dann hab ich
[mm] 2\cdot{}\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=2*(1+2+...+n)+(1+2+...+(n-1).
[/mm]
Aber was mache ich den ..., die können ja nicht so stehen bleiben?
lg
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Hallo Mandy,
genau lesen hilft.
> > schreib doch erstmal aus, was für einen wert diese summen
> > haben. dann kriegst du eine formel die nur von ergänzt: n
> > abhängig ist, das kannst du dann mit vollständiger induktion
> > beweisen, etwa wie
> >
> > [mm]\sum_{i}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}[/mm]
> >
>
> Achso ja,dann hab ich
>
> [mm]2\cdot{}\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=2*(1+2+...+n)+(1+2+...+(n-1).[/mm]
>
> Aber was mache ich den ..., die können ja nicht so stehen
> bleiben?
Natürlich nicht. Aber Du kannst die Formel verwenden, die MontBlanc Dir gegeben hat. 
Grüße
reverend
> lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> genau lesen hilft.
>
> > > schreib doch erstmal aus, was für einen wert diese summen
> > > haben. dann kriegst du eine formel die nur von ergänzt: n
> > > abhängig ist, das kannst du dann mit vollständiger
> induktion
> > > beweisen, etwa wie
> > >
> > > [mm]\sum_{i}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}[/mm]
> > >
Woher hast du jetzt diese Formel,irgendwie versteh ich das nicht?
> > Achso ja,dann hab ich
> >
> >
> [mm]2\cdot{}\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=2*(1+2+...+n)+(1+2+...+(n-1).[/mm]
> >
> > Aber was mache ich den ..., die können ja nicht so stehen
> > bleiben?
>
> Natürlich nicht. Aber Du kannst die Formel verwenden, die
> MontBlanc Dir gegeben hat.
Also ich verwende sie mal,aber ich würde gern wissen,wie man auf die kommt.
Ich hab dann [mm] 2\cdot{}\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=n*(n+1)+\bruch{1}{2}*n*(n-1)=n*(3n+1)*\bruch{1}{2}.
[/mm]
Ist es so richtig und muss das jetzt mit vollständiger Induktion beweisen?
lg
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Hallo Mandy,
> > > > beweisen, etwa wie
> > > >
> > > > [mm]\sum_{i}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}[/mm]
> > > >
>
> Woher hast du jetzt diese Formel,irgendwie versteh ich das
> nicht?
Na, die Formel für Dreieckszahlen sollte man kennen. Es ist typischerweise die erste, die man mit vollständiger Induktion beweist.
> Also ich verwende sie mal,aber ich würde gern wissen,wie
> man auf die kommt.
Ok, mal sehen, wo das einen guten Ort in diesem Thread finden kann. Und wann.
> Ich hab dann
> [mm]2\cdot{}\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=n*(n+1)+\bruch{1}{2}*n*(n-1)=n*(3n+1)*\bruch{1}{2}.[/mm]
> Ist es so richtig und muss das jetzt mit vollständiger
> Induktion beweisen?
Ja, so ist es richtig und zu beweisen.
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,dann versuch ich das mal zu beweisen,also es ist zu zeigen,dass:
[mm] 2\cdot{}\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=n\cdot{}(3n+1)\cdot{}\bruch{1}{2}.
[/mm]
Induktionsanfang: n=1. Wenn ich n=1 einsetze,hab ich 2=2,also gelingt der IA.
Induktionsvoraussetzung: [mm] 2\cdot{}\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=n\cdot{}(3n+1)\cdot{}\bruch{1}{2}
[/mm]
Induktionsschritt: Für n setze ich n+1 ein und habe
[mm] 2\cdot{}\sum_{i=1}^{n+1}i+\sum_{i=1}^{n}i=(n+1)\cdot{}(3(n+1)+1)\cdot{}\bruch{1}{2},also
[/mm]
2*(1+2+...+n+n+1)+(1+2+...+n)=(n+1)*(3n+4)*0.5 bzw.
[mm] 2*(1+2+...+n+n+1)+(1+2+...+n)=1.5n^{2}+3.5n+2
[/mm]
aber diese Umformung bringt mir gar nichts.
Ich könnte aber für [mm] \sum_{i=1}^{n}i [/mm] die Induktionsvoraussetzung einsetzen und hätte somit:
[mm] 2*(1+2+...+n+n+2)+\bruch{n+(n+1)}{2}=(n+1)*(3n+4)*0.5
[/mm]
Und die Summe [mm] 2\cdot{}\sum_{i=1}^{n+1}i [/mm] könnte ich schreiben als [mm] 2\cdot{}\sum_{i=1}^{n+1}i=2*(\bruch{n+(n+1)}{2}+n+1).Also [/mm] hätte ich insgesamt
[mm] 2*(\bruch{n+(n+1)}{2}+n+1)+\bruch{n+(n+1)}{2}=(n+1)*(3n+4)*0.5
[/mm]
Aber wenn ich die linke Seite zusammenfasse,komme ich nicht auf das,was auf der rechten Seite steht.
Wo liegt denn mein Fehler?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
du bringst da etwas mit der Induktion durcheinander. Du kannst nicht einfach für jedes n ein (n+1) einsetzen, damit gehst du ja davon aus, dass deine Formel richtig ist, du möchtest zeigen, dass [mm] P(n)\Rightarrow [/mm] P(n+1).
[mm] 2\sum_{i=1}^{n+1}i+\sum_{i}^{n}=...
[/mm]
Auf der rechten seite musst du jetzt die anzahl der verbrauchten karten hinzuaddieren, die du benötigst um die (n+1)te Etage zu bauen.
Schau dir nochmal meine antwort an, als ich dir beschrieben habe, wie man auf die formel kommt. Dann wirst du erkennen, was du addieren musst.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeige einfacher
[mm]\summe_{i=1}^{k} i=k*(k+1)/2 [/mm]
statt beid Summen auf einmal.
ob du dann für k n oder n-1 einsetzt ist egal.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 28.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> zeige einfacher
> [mm]\summe_{i=1}^{k} i=k*(k+1)/2[/mm]
> statt beid Summen auf
> einmal.
> ob du dann für k n oder n-1 einsetzt ist egal.
> Gruss leduart
>
Ok,das habe ich gezeigt,muss ich nicht dann noch zeigen,dass [mm] \summe_{i=1}^{k-1} [/mm] i=k*(k-1)/2 ?
Und wenn ich das beides gezeigt habe,habe ich dann die Formel bewiesen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo mandy
Du hast wenig Vertrauen zu Beweisen. Du hast es doch für alle k bewisen, ob das k jetz n heisst oder m oder k-1 ist doch egal, es ist für k=1000
oder k=999 doch gezeigt?
also keinen neuen Beweis auch nicht für irgend eine andere obere Grenze!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 So 28.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo mandy
> Du hast wenig Vertrauen zu Beweisen.Du hast es doch für
> alle k bewisen, ob das k jetz n heisst oder m oder k-1 ist
> doch egal, es ist für k=1000
> oder k=999 doch gezeigt?
> also keinen neuen Beweis auch nicht für irgend eine
> andere obere Grenze!
> Gruss leduart
Achja richtig. Um es nochmal zusammenzufassen.Ich will zeigen,dass [mm] 2\cdot{}\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n-1}i=n\cdot{}(n+1)+\bruch{1}{2}\cdot{}n\cdot{}(n-1)=n\cdot{}(3n+1)\cdot{}\bruch{1}{2} [/mm] und zeige aber nur,dass [mm] \summe_{i=1}^{k} i=k\cdot{}(k+1)/2 [/mm] und damit ist schon das ganze gezeigt,wie du oben beschrieben hast ?
Vielen Dank nochmal
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht ist es doch besser du formulierst selbst, warum das richtig ist. Wenn ich einfach ja sage,(oder nein) weiss ich nicht, ob du das verstehst.
Gruss leduart
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Hallo,
Wie wärs denn einfach mit einer rekursiven Folge:
[mm] a_{1}=2 [/mm] , [mm] a_{n}= a_{n-1}+5+3(n-2),
[/mm]
so kommt man auf 2,7,15,26,40,...
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Mi 24.11.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
ich denke da führen viele wege nach rom. mein vorschlag war der, der mir als erstes aufgefallen ist.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
> Wie wärs denn einfach mit einer rekursiven Folge:
> [mm]a_{1}=2[/mm] , [mm]a_{n}= a_{n-1}+5+3(n-2),[/mm]
> so kommt man auf
> 2,7,15,26,40,...
>
Wie kommst du auf diese Formel?
lg
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Hallo,
> > Wie wärs denn einfach mit einer rekursiven Folge:
> > [mm]a_{1}=2[/mm] , [mm]a_{n}= a_{n-1}+5+3(n-2),[/mm]
> > so kommt man auf
> > 2,7,15,26,40,...
> >
>
> Wie kommst du auf diese Formel?
Naja, von der ersten Ebene ausgehend, hast du ja schon bemerkt, dass +5, +8, +11, +14 Karten pro Ebene hinzukommen, also besteht für mich die Regelmäßigkeit darin, dass pro Ebene immer 3 Karten mehr hinzuaddiert werden als bei der vorherigen Ebene, das ist der ganze Trick.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
> > > Wie wärs denn einfach mit einer rekursiven Folge:
> > > [mm]a_{1}=2[/mm] , [mm]a_{n}= a_{n-1}+5+3(n-2),[/mm]
> > > so kommt
> man auf
> > > 2,7,15,26,40,...
> > >
> >
> > Wie kommst du auf diese Formel?
>
> Naja, von der ersten Ebene ausgehend, hast du ja schon
> bemerkt, dass +5, +8, +11, +14 Karten pro Ebene
> hinzukommen, also besteht für mich die Regelmäßigkeit
> darin, dass pro Ebene immer 3 Karten mehr hinzuaddiert
> werden als bei der vorherigen Ebene, das ist der ganze
> Trick.
hey,die Idee hatte ich auch schon,aber ich konnte keine Formel dafür aufstellen.
Also was genau ist bei dir das [mm] a_{1}=2,das [/mm] heißt doch,dass man für ein Stockwerk 2 Karten braucht. Stehen die [mm] a_{n} [/mm] für die Anzahl der Spielkarten (muss ja logischerweise).,aber wieso steht in der Formel zur Berechnung der Anzahl der KArten auch die Anzahl der Karten Also du willst [mm] a_{n} [/mm] berechnen und berechnest das mit [mm] a_{n-1},aber [/mm] du weiß doch vorher gar nicht was [mm] a_{n-1} [/mm] ist?
Kannst du mir an einem Beispiel zeigen,wie du das meinst, z.B. hab ich 5 Stockwerke und will die Anzahl der Karten wissen.
Und für 0 Stockwerke macht die Formel doch eigentlich gar keinen Sinn oder?
lg
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Hallo
> > Hallo,
> > > > Wie wärs denn einfach mit einer rekursiven Folge:
> > > > [mm]a_{1}=2[/mm] , [mm]a_{n}= a_{n-1}+5+3(n-2),[/mm]
> > > > so
> kommt
> > man auf
> > > > 2,7,15,26,40,...
> > > >
> > >
> > > Wie kommst du auf diese Formel?
> >
> > Naja, von der ersten Ebene ausgehend, hast du ja schon
> > bemerkt, dass +5, +8, +11, +14 Karten pro Ebene
> > hinzukommen, also besteht für mich die Regelmäßigkeit
> > darin, dass pro Ebene immer 3 Karten mehr hinzuaddiert
> > werden als bei der vorherigen Ebene, das ist der ganze
> > Trick.
>
> hey,die Idee hatte ich auch schon,aber ich konnte keine
> Formel dafür aufstellen.
> Also was genau ist bei dir das [mm]a_{1}=2,das[/mm] heißt
> doch,dass man für ein Stockwerk 2 Karten braucht.
Und zwar für die erste Ebene/das erste Stockwerk
Stehen
> die [mm]a_{n}[/mm] für die Anzahl der Spielkarten (muss ja
> logischerweise).,aber wieso steht in der Formel zur
> Berechnung der Anzahl der KArten auch die Anzahl der Karten
Es stehen die [mm] a_{n} [/mm] für die Anzahl an Karten, die man benötigt für eine bestimmte Ebene/ein bestimmtes Stockwerk n.
> Also du willst [mm]a_{n}[/mm] berechnen und berechnest das mit
> [mm]a_{n-1},aber[/mm] du weiß doch vorher gar nicht was [mm]a_{n-1}[/mm]
> ist?
> Kannst du mir an einem Beispiel zeigen,wie du das meinst,
> z.B. hab ich 5 Stockwerke und will die Anzahl der Karten
> wissen.
> Und für 0 Stockwerke macht die Formel doch eigentlich gar
> keinen Sinn oder?
Na 0 Stockwerke haben natürlich 0 Karten, aber wenn dus willst kann ich auch noch [mm] a_{0}=0 [/mm] definieren
Aber okay, anhand eines Bsp. wollen wir die Anzahl Karten für die 5. Ebene berechnen:
Dazu berechne ich [mm] a_{2}= a_{1}+5+3(2-2) [/mm] = 2+ 5 =7
[mm] a_{3}= a_{2}+5+3(3-2) [/mm] = 7+5+3=15
[mm] a_{4}= a_{3}+5+3(4-2) [/mm] = 15+5+6=26
[mm] a_{5}= a_{4}+5+3(5-2) [/mm] = 26+5+9=40
Also benötigt man für 5 Ebenen/ Stockwerke eines Kartenhauses 40 Karten usw. lässt sich für jedes Stockwerk die Anzahl an Karten die benötigt werden, berechnen.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> > Und für 0 Stockwerke macht die Formel doch eigentlich gar
> > keinen Sinn oder?
> Na 0 Stockwerke haben natürlich 0 Karten, aber wenn dus
> willst kann ich auch noch [mm]a_{0}=0[/mm] definieren
Ja,danke =).
> Aber okay, anhand eines Bsp. wollen wir die Anzahl Karten
> für die 5. Ebene berechnen:
> Dazu berechne ich [mm]a_{2}= a_{1}+5+3(2-2)[/mm] = 2+ 5 =7
> [mm]a_{3}= a_{2}+5+3(3-2)[/mm] = 7+5+3=15
> [mm]a_{4}= a_{3}+5+3(4-2)[/mm] = 15+5+6=26
> [mm]a_{5}= a_{4}+5+3(5-2)[/mm] = 26+5+9=40
> Also benötigt man für 5 Ebenen/ Stockwerke eines
> Kartenhauses 40 Karten usw. lässt sich für jedes
> Stockwerk die Anzahl an Karten die benötigt werden,
> berechnen.
Ok,die Formel ahb ich jetzt verstanden,diese Regelmäßigkeit,die du oben geschrieben hast,hatte ich zwar auch erkann,aber ich konnte sie nicht weiter ausführen und in eine Formel schreiben.
Ich würde die Formel gerne beweisen.
Kann man das mit vollständiger Induktion machen?
Ich würde einfach anfangen mit n=1,
[mm] a_{1}= a_{1-1}+5+3(1-2)=0+5+(3*-1)=2
[/mm]
der Induktionsanfang gelingt.Die Induktionsvoraussetzung ist nun
[mm] a_{n}= a_{n-1}+5+3(n-2).
[/mm]
Jetzt kommt der Induktionsschritt,also setze ich für n jeweils n+1 ein und habe
[mm] a_{n+1}= a_{n+1-1}+5+3(n+1-2)
[/mm]
[mm] a_{n+1}= a_{n}+5+3(n-1),
[/mm]
aber wie kann ich denn jetzt weitermachen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo mandy
eine rekursionsformel wie diese hier ist eine mögliche antwort auf die Frage, weil manjetzt ohne zu denken jedes [mm] a_n [/mm] ausrechnen kann. Hier ist allerdings die andere explizite Formel schöner, also lass diesen Zwig hier versanden.
gruss leduart
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