Fouriertransformation Sinc(x) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Di 06.12.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo!,
Die (Rück)fouriertransformierte der Rechteckfuntkion ist die Sinc Funktion [mm] \bruch{sin(w*t)}{t}. [/mm] Das ist leicht einzusehen indem man die Rechteckfunktion fouriertransformiert.
[mm] \bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-\infty}^{\infty}{rect(w)*e^{jwt}dw} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-w_{grenz}}^{w_{grenz}}{e^{jwt}dw} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\pi}*\bruch{e^{jwt}-e^{-jwt}}{jt} [/mm] = [mm] \bruch{sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t}
[/mm]
Jetzt wollt ich aber gerne das umgekehrte zeigen, nämlich die Fouriertransformierte der Sinc-Funktion explizit berechnen. Leider gelingt mir das nicht:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t}
*e^{-jwt}dt} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{e^{jwt}-e^{-jwt}}{2*i*\pi*t}*e^{-jwt}dt [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{e^{jt(w_{grenz}-w)}-e^{-jt(w_{grenz}+w)}}{2*i*\pi*t}dt [/mm] = ...
Mit Partieller Integration hab ich schon alles mögliche Versucht, erfolglos.
Danke für einen Tipp!
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!,
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> Die (Rück)fouriertransformierte der Rechteckfuntkion ist
> die Sinc Funktion [mm]\bruch{sin(w*t)}{t}.[/mm] Das ist leicht
> einzusehen indem man die Rechteckfunktion
> fouriertransformiert.
>
> [mm]\bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-\infty}^{\infty}{rect(w)*e^{jwt}dw}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-w_{grenz}}^{w_{grenz}}{e^{jwt}dw}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2*\pi}*\bruch{e^{jwt}-e^{-jwt}}{jt}[/mm] =
> [mm]\bruch{sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t}[/mm]
>
> Jetzt wollt ich aber gerne das umgekehrte zeigen, nämlich
> die Fouriertransformierte der Sinc-Funktion explizit
> berechnen. Leider gelingt mir das nicht:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t}
*e^{-jwt}dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{e^{jwt}-e^{-jwt}}{2*i*\pi*t}*e^{-jwt}dt[/mm]
> =
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{e^{jt(w_{grenz}-w)}-e^{-jt(w_{grenz}+w)}}{2*i*\pi*t}dt[/mm]
> = ...
> Mit Partieller Integration hab ich schon alles mögliche
> Versucht, erfolglos.
Das Exponentialintegral lässt sich ja auch nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Schreibe
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{\sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t} *e^{-jwt}dt} = \integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{\sin(w_{grenz}*t)}{\pi*t} (\cos(wt)-i\sin (wt)) dt = 2 \integral_0^{\infty} \bruch{\sin(w_{grenz}*t)\cos (wt)}{\pi*t} dt [/mm]
weil der Realteil des Integranden eine gerade, der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist.
Den Zähler formst du in eine Summe zweier Sinusfunktionen um, dann hast du eine Summe zweier Integrale der Form
[mm] \integral_0^\infty \bruch{\sin(at)}{t} dt = \mathop{\mathrm{sgn}}(a) \integral_0^\infty \bruch{\sin(t)}{t} dt = \bruch{\pi}{2}\mathop{\mathrm{sgn}}(a) [/mm] .
(siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier über den Integralsinus) .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:51 Do 08.12.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Rainer,
Herzlichen Dank!
Grüsse
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