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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen, :)
Ich habe da noch ne andere Frage und hoffe, dass ich schon auf dem richtigen Weg bin. ;)
a) Gegeben sei eine stetige Funktion f: [c, d] [mm] \tp \IR [/mm] mit f(c)f(d) < 0. Zeigen Sie, dass dann ein x [mm] \in [/mm] ]c, d[ existiert mit f(x) = 0
b) Verwenden Sie diese Aussage, um zu zeigen, dass das reelle Polynom p(x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 6x^{3} [/mm] + 14x -6 vier paarweise verschiedene Nullstellen besitzt.
Bei der a) kann ich da nicht sagen, dass ich als beispiel die Funktion f(x) = x nehme? Weil dann habe ich immer f(x) = 0 und zwar für x=0. Und stetig ist die Funktion f(x)=x ja auch oder? Aber ich weiß nicht warum. Würde das so gehen?
Bei der b) weiß ich leider nicht weiter. Wie soll ich das denn dadurch zeigen?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
MFG Becks
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Beispiele sind zum Beweis für allgemeingültige Aussagen leider ganz selten sinnvoll (außer Gegenbeispiele).
Also bei a) würde ich mir ersteinmal anschauen, wann ein Produkt, ( das haben wir ja mit f(c) f(d) gegeben), kleiner als Null ist. Wenn du dann noch verwendest, dass die Funktion stetig ist (anschaulich heißt das ja, das du sie in einer Linie durchzeichnen kannst, ohne absetzen und an anderer Stelle fortfahren zu müssen), dann bist du eigentlich so gut wie fertig mit a).
Wenn du a) gemacht und begriffen hast, wird sich b) quasi fast von selbst lösen (einfach geschickte Punkte wählen!)
Gruß Tran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:49 Di 14.06.2005 | | Autor: | Becks |
Ja genau, dass hatte ich mir ja gedacht mit der Funktion f(x) = x. Denn f(c)*f(d) ist ja dann kleiner Null, wenn ein Faktor negativ ist. Und dann hätte ich immer die = im Intervall drin und naja...
Aber stimmt schon, mit Beispielen kommt man beim beweisen nicht weit.
Aber wie kann ich das denn zeigen?
Bei meiner anderen Frage wurde gesagt, dass ich für das [mm] \varepsilon [/mm] einfach einen kleinen Wert annehmen soll, und das dann überprüfen soll. Geht das hier auch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Di 14.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Becks!
Es sei $f:[c,d] [mm] \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion mit $f(c)f(d)<0$. Da das Produkt zweier Zahlen genau dann kleiner als $0$ ist, wenn einer der beiden Faktoren kleiner also $0$ und der andere Faktor größer als $0$ ist, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
$f(c)<0$ und $f(d)>0$
annehmen. Dann aber folgt die Behauptung aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Di 14.06.2005 | | Autor: | Becks |
Ach so, habe gerade nochmal nachgeschaut:
Ist f : [c, [mm] d]\to \IR [/mm] stetig, so gibt es zu jedem y im
Intervall zwischen f(c) und f(d) ein x [mm] \in [/mm] [c, d] mit f(x) = y.
Und da ja y auch 0 sein kann, haben wir es ja gefunden.
Danke ich glaube ich habe es jetzt verstanden. :)
Aber bei dem Polynom: Wenn ich 4 paarweise verschiedene Nullstellen haben soll, wie hilft mir der obige Satz da weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Di 14.06.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Der Zwischenwertsatz sagt dir, dass bei stetigen Funktionen jeder Punkt zwischen zwei Punkten im Bildberech angenommen wird. Mit anderen Worten, deine Funktion f bildet unter anderem in das
Intervall $[f(c), f(d)]$ ab!
Intervall ebdeutet aber, dass jeder Punkt dazwischen auch im Intervall liegt. Wir wissen bereits dass die 0 im Intervall liegt, weil eine grenze echt kleiner als 0 ist und die andere echt größer.
Damit folgt also nach dem Zwischenwertsatz dass es (irgendwo und mindestens eine) Stelle [mm] $\xi$ [/mm] gibt, mit [mm] $f(\xi) [/mm] = 0$
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 14.06.2005 | | Autor: | Becks |
Vielen Dank, die a habe ich jetzt verstanden. ;)
Aber bei der b) weiß ich noch nicht so Recht. Durch das [mm] x^{4} [/mm] weiß ich ja, dass es 4 Nullstellen geben kann. Aber wie soll mir der obige Satz helfen, damit ich sagen kann, dass es paarweise verschiedene sind?
Bestimmen muss ich die ja nicht oder?
Aber ich weiß ja auch nicht, wie mein Intervall ist. Hmm.
Ich hoffe ihr könnt mir da auch weiterhlefen.
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Also ich würde die Aufgabe jetzt so angehen, dass ich mir 5 Stellen [mm] x_{i} [/mm] so wähle, dass [mm] f(x_{1})>0, f(x_{2})< [/mm] 0, [mm] f(x_{3})>0 ,f(x_{4})<0 f(x_{5})>0 [/mm] und
[mm] x_{1}
MfG
Tran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 14.06.2005 | | Autor: | Becks |
Aber würde das denn nicht auch mit 6 oder 7 gehen? Oder irre ich mich da? Weil nach dem Prinzip könnte man doch unzählig viele Nullstellen betrachten oder?
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Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an, wobei wir annehmen, es liegt eine stetige Funktion zugrunde:
Alle Werte ausgedacht:
x f(x)
1 -1
2 1
3 1
4 -1
5 1
Hättest du nur Informationen von x = 1 und x = 4, könntest du auf gar keine Nullstellen schließen. Da aber von 1 nach 2 und von 3 nach 4 ein Vorzeichenwechsel stattfindet, weißt du, dass es zwischen 1 und 4 mind. 2 verschiedene Nullstellen gibt.
Hättest du nur die Informationen von x = 1 und x = 5, dann wüsstest du, dass es mind. eine Nullstelle gibt, aber es könnten auch mehr sein.
Wenn wir nur x =1 und x=3 betrachten, wissen wir, dass es dazwischen mind. eine Nullstelle geben muss, aber wir können nicht sagen, ob es dieselbe ist, wie zwischen 1 und 2!
Insgesamt können wir hier sicher auf 3 verschiedene Nullstellen schließen, aber nicht, ob es noch mehr gibt und wenn ich mich richtig entsinne, musst du nur etwas entsprechendes machen, nur zeigen, dass es 4 verschiedene Nullstellen gibt, nicht, dass es nicht vllt noch mehr gibt. Aber wenn du schon vier sinnvolle Intervalle gewählt hast, wirst du kein weiteres "sinnvolles" (also eines, das eine Aussage über Nullstellen erlaubt)Intervall finden , das nicht mind. eins der gewählten Intevalle zum Teil beinhaltet. Und damit kannst du nicht sicher auf weitere Nullstellen schließen!!
Hoffe, das war verständlich
Tran
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Di 14.06.2005 | | Autor: | Becks |
Vielen Dank. Das war sehr verständlich ;)
Habe es verstanden. :)
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