Frage < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Do 07.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!!
Ich habe gelesen, dass man die Inverse Matrix mit folgender Formel berechnen kann:
Vorraussetung det(A) [mm] \not= [/mm] 0, dann gilt:
A^-1 = 1/det(A) * (komplementäre Matrix von A)
Ich weiß nicht, was eine "komplementäre Matrix" ist. Also wie die ausschaut??
Leider finde ich in Büchern entweder gar keine Erklärung, oder eine total unverständliche.
Vielen Dank für eine Antwort!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Do 07.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
HI,
richtig, diese MAtrix heißt auch Adjunkte oder Adjungierte.
Ihre Einträge berechnet man folgendermaßen.
Um den Eintrag der Stelle (i,j) zu berechnen, streichst Du erstmal von der Ausgangsmatrix Zeile j und Spalte i (also genau umgekehrt wie der Index (i,j) sagt). Von dieser entstandenen n-1 x n-1 Matrix berechnest Du die Determinante.
Wenn Du das gemacht hast mußt Du das Vorzeichen dieser Zahl ändern, falls i+j ungerade ist. Wenn i+j gerade ist bleibt das Vorzeichen.
Manche veranshaulichen sich dies durch ein Schachbrettvorzeichenschema.
Das ist dann der Eintrag der Adjunkten an der Stelle (i,j).
Das machst Du mit allen Paaren (i,j) und teilst dann die Matrix durch die Determinante von A und fertig ist die Inverse.
Ich habe früher (und heute würde ichs auch machen, wenn ich es müßte :) nach diesem Prinzip immer die Inverse von 3x3 Matrizen berechnet, mit ein bisschen Übung geht das sehr schnell.
Viele Grüße,
Jazzy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mo 11.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Also die Berechnung einer komplementären Matrix ist mir jetzt absolut klar. Jedoch heißt es, man nennt eine komplementäre Matrix auch die Adjungte oder Selbstadjungierte. Aber ist eine adjungierte Matrix nicht eine Matrix B aus [mm] \IC [/mm] welche aus der Matrix A transponiert und konjungiert worden ist.
Also A= [mm] a_{ij} [/mm] => B= [mm] \overline{a_{ji}} [/mm]
Also eine adjungierte Matrix eine sozusagen "komlex-konjungierte-transponierte" Matrix. Mit welcher, sobald A=B auch folgt, dass A hermitesch ist??
Vielen Dank!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi,
nein, eine Matrix kann selbstadjungiert heißen, aber nicht adjungiert.
Aber das Wort adjungieren kommt auch in anderen Bereichen vor.
Es ist aber immer aus dem Zusammenhang klar, was gemeint ist.
Gruß,
Jazzy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 11.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Jetzt bin ich total verwirrt. Mal ganz langsam:
Wie kann ich also eine komplementäre Matrix noch nennen? Also eine Matrix die durch das von dir beschriebene Verfahren erzeugt wird. Und wie wird die Matrix i.a. gekennzeichnet? Evtl. A^# ??
Wie heißt eine Matrix B aus [mm] \IC [/mm] welche durch die Matrix [mm] A=a_{ij} [/mm] komplex-konjungiert und transformiert wird? Also [mm] B=\overline{a_{ji}}
[/mm]
Man schreibt für B auch A^* oder?
Vielen Dank!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
HI,
ich kenn die Matrix unter dem Begriff Adjunkte. Und kenne die Bezeichnung
mit [mm]A^{\#}[/mm].
Das komplexe Transponieren kenne ich unter der Bezeichnung [mm]A^{H}[/mm] und [mm]A^{\*}[/mm]. Man nennt diese Matrix auch manchmal Adjungierte. Man kommt darauf in allgemeinerem Kontext durch die sogenannte Adjungierte Abbildung zu einer linearen Abbildung. In Matrixdarstellung ist das dann die Transponierte im reellen und die adjungierte (wenn wir es so mal nennen wollen) im komplexen.
Gruß,
Jazzy
|
|
|
|
