Frage zu Newton Cotes < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Sa 28.03.2009 | | Autor: | Tobus |
Hallo,
hab eine Frage zu den Newton-Cotes Formeln. In unserem Skript steht:
"...basieren auf folgender Idee: Interpoliere die n+1 Werte durch ein Polynom n-ten Grades und integriere dieses exakt"
Ist damit nun gemeint, dass man zu gegebenen Stützstellen ein z.B. Lagrange-Polynom bildet und dann eine Formel anwendet ?
Dann noch eine etwas dumme Frage, was bedeuten die Grade/Ordnungen der Formeln anschaulich ?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Sa 28.03.2009 | | Autor: | Brazzo |
Hallo,
die Idee ist tatsächlich, dass man zu gegebenen Stützstellen einfach das interpolierende Lagrange-Polynom bestimmt und dieses dann integriert.
Polynome exakt zu integrieren ist nämlich kein großes Problem. ( [mm] \int x^k dx=\frac{1}{k+1} x^{k+1} [/mm] bekanntermaßen )
Wie man das Lagrangepolynom dann integriert spielt letztlich keine Rolle, dann man es sozusagen nur einmalig zur Herleitung der Newton-Cotes-Formeln tun muss. Wenn keine anderen Quadraturformeln bekannt sind (und das ist ziemlich wahrscheinlich an der Stelle), macht man es natürlich "direkt" über obige Beziehung.
Der Exaktheitsgrad einer Quadraturformel besagt letztlich nur, bis zu welchem Grad Polynome damit exakt integriert werden können. Das ist aber zugleich auch die Definition und ich wüsste gerade auch nicht, was man da noch veranschaulichen kann.
Mit einer Formel des Exaktheitsgrades 3 kann also z.B. jedes Polynom von höchstens 3tem Grade exakt integriert werden.
Und falls das nicht klar ist, man benutzt Quadraturformeln aber natürlich im Allgemeinen nicht, um Polynome zu integrieren, sondern für beliebige Funktionen. Ein höherer Exaktheitsgrad hat auch dort eine höhere Genauigkeit zur Folge.
Man wünscht sich natürlich, Quadraturformeln zu finden, die einen möglichst hohen Exaktheitsgrad haben bei möglichst wenigen Stützstellen.
(Das werdet ihr sehr wahrscheinlich auch noch tun)
Hoffe, das hilft dir etwas weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 So 29.03.2009 | | Autor: | Tobus |
Perfekt, das Deckt sich mit meinen Vermutungen. DANKE
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