Frage zu einer Musterlösung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Di 19.02.2013 | | Autor: | aaaa1 |
Hey,
kann mir jmd sagen, wie man bei folgender Aufgabe auf 45 kommt:
p=0.999 P [mm] \ge [/mm] 0.99 --> ERGEBNIS : 45
Formel: [mm] p^n [/mm] + np (1-p)
Ich komm jedoch nicht auf diese 45.
Kann mir jmd weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Di 19.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hey,
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> kann mir jmd sagen, wie man bei folgender Aufgabe auf 45
> kommt:
>
> p=0.999 P [mm]\ge[/mm] 0.99 --> ERGEBNIS : 45
>
> Formel: [mm]p^n[/mm] + np (1-p)
>
> Ich komm jedoch nicht auf diese 45.
>
> Kann mir jmd weiterhelfen?
Vielleicht kann dir jemand helfen.
Dazu ist es aber erforderlich, nicht nur diese zusammenhanglosen Fragmente, sondern die vollständige Aufgabenstellung zu posten.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Di 19.02.2013 | | Autor: | aaaa1 |
AUFGABE:
Ein System bestehe aus verschiedenen Komponenten und heißt normalverfügbar, wenn es 99,9% der Betriebszeit zur Verfügung steht.
Wenn jede Komponente normal verfügbar ist, wie viele Komponenten können wir in unserem System betreiben, dass es normal verfügbar bleibt.
?
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Hallo aaaa1,
hmpf.
> AUFGABE:
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> Ein System bestehe aus verschiedenen Komponenten und heißt
> normalverfügbar, wenn es 99,9% der Betriebszeit zur
> Verfügung steht.
>
> Wenn jede Komponente normal verfügbar ist, wie viele
> Komponenten können wir in unserem System betreiben, dass
> es normal verfügbar bleibt.
Auch das kann nicht die vollständige Aufgabe zu sein.
Mit der gegebenen Formel hat sie nichts zu tun.
So wie die Aufgabe gestellt ist, ist die Antwort sehr einfach:
genau 1 Komponente, nicht mehr.
Stell also Deine Frage vernünftig, und wenn Du eine Musterlösung hast, dann gib sie korrekt ein, so dass sie lesbar ist. Vielleicht kann man dann etwas rückschließen.
Grüße
reverend
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Hallo,
ich habe mal ein bisschen rückgeschlossen:
Die Lösung kommt raus, wenn man annimmt, dass solch ein System normal verfügbar ist, wenn höchstens ein Bauteil kaputt ist.
Sind $n$ Bauteile im System, so ist ein Bauteil mit WS p = 0.999 ganz.
Wir können von einer Binomialverteilung ausgehen: $X [mm] \sim [/mm] Bin(n,p)$
D.h. suche größtmögliches $n$ so dass
[mm] $0.999^n [/mm] + [mm] n*0.999^{n-1}*0.001 [/mm] = P(X = n) + P(X = n-1) [mm] \ge [/mm] 0.999$
Als Lösung erhält man die gesuchten n = 45.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Di 19.02.2013 | | Autor: | aaaa1 |
Genau, jedoch ist mir nicht mehr bewusst , wie man genau auf diese 45 kommt. Du hast die Formel zwar aufgeschrieben, aber was sind die Zwischenschritte? Ich wollte nur, dass mir jmd die richtige Rechnung mit Zwischenschritten zeigt.
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Hallo nochmal,
dank Stefan ist ja nun wenigstens die Aufgabe korrigiert und klar, auch die Formel sieht nun sinnvoll aus - durch den zusätzlichen Exponenten ist das nun eine monoton fallende Funktion, in der ursprünglichen Form war sie monoton wachsend und erreichte schnell Werte >1.
Die Antwort auf Deine Frage, aaaa1 ist allerdings, dass die Ungleichung nicht explizit aufzulösen ist, sondern die Lösung nur numerisch bestimmt werden kann. Ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Computer ist das normalerweise nicht so einfach.
Hier allerdings kann man sich dennoch behelfen, indem man über den binomischen Satz eine Abschätzung trifft. Hier ist ja p=1-0,001. Für hinreichend kleine n genügt es, die Ungleichung wie folgt abzuschätzen:
[mm] (1-10^{-3})^n+n*(1-10^{-3})^{n-1}*10^{-3}\approx 1-10^{-3}n+10^{-6}\bruch{n(n-1)}{2}+10^{-3}n*\left(1-10^3(n-1)+10^{-6}\bruch{(n-1)(n-2)}{2}\right)
[/mm]
Das ist immer noch etwas Rechenaufwand, aber immerhin nur noch eine quadratische Gleichung in n. Das letzte Glied in der großen Klammer rechts kann sogar ohne große Auswirkungen auf die Abschätzung wegfallen.
Grüße
reverend
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