Frage zu komplexer Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mo 04.01.2010 | | Autor: | deniz87 |
Hallo zusammen,
Bin gerade am verzweifeln, da ich bei folgender Aufgabe nicht weiterkomm'
Seien zwei komplexe Potenzreihen mit
[mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{2n}}{(2n)!} [/mm] und [mm] g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] gegeben. Nun soll man den Konvergenzradius dieser Potenzreihen bestimmen. Wie funktioniert das wenn man [mm] z^{2n} [/mm] und [mm] z^{2n+1} [/mm] hat? Außerdem soll man zeigen, dass [mm] f^2(z)-g^2(z)=1 [/mm] und f(z+w)=f(z)*f(w)+g(z)*g(w). Könnt ihr mir einen Denkanstoß geben?
Gruß
Deniz
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Hallo,
> Bin gerade am verzweifeln, da ich bei folgender Aufgabe
> nicht weiterkomm'
> Seien zwei komplexe Potenzreihen mit
> [mm]f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{2n}}{(2n)!}[/mm] und
> [mm]g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> gegeben. Nun soll man den Konvergenzradius dieser
> Potenzreihen bestimmen. Wie funktioniert das wenn man
> [mm]z^{2n}[/mm] und [mm]z^{2n+1}[/mm] hat? Außerdem soll man zeigen, dass
> [mm]f^2(z)-g^2(z)=1[/mm] und f(z+w)=f(z)*f(w)+g(z)*g(w). Könnt ihr
> mir einen Denkanstoß geben?
Erstmal als kleine Zusatzinfo: Die erste Potenzreihe ist Cosinus Hyperbolicus (cosh), die zweite ist Sinus Hyperbolicus (sinh).
Damit kommen dir die zu beweisenden Identitäten vielleicht einleuchtender vor.
Ich zeige dir, wie man den Konvergenzradius von der ersten Reihe, [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{2n}}{(2n)!}, [/mm] bestimmt, den zweiten schaffst du dann selbst (mache bei der zweiten die Umformung [mm] g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] z*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{2n}}{(2n+1)!}, [/mm] um wie bei der ersten vorgehen zu können).
Die einfachste Möglichkeit, den Konvergenzradius zu bestimmen, ist die Substitution x = [mm] z^{2}. [/mm] Dann kannst du bequem das Quotientenkriterium anwenden und siehst, dass der Konvergenzradius [mm] \infty [/mm] ist.
Formal ist daran aber zweiwas falsch: Die Substitution ist nicht so toll (Du musst nachher noch die Wurzel von [mm] \infty [/mm] ziehen, weil du ja den Konvergenzradius von [mm] z^{2} [/mm] bestimmt hast), und als Grenzwert kommt beim Quotientenkriterium [mm] \infty [/mm] raus, womit man das Kriterium streng genommen gar nicht anwenden dürfte.
Eigentlich musst du also das Kriterium von Cauchy-Hadamard anwenden.
Um auch das Problem mit dem [mm] z^{2n} [/mm] zu lösen, solltest du dir bewusst machen, dass deine Potenzreihe eigentlich folgende Gestalt hat:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{2n}}{(2n)!} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}z^{n}*\begin{cases}0, \mbox{ falls n ungerade}\\ \frac{1}{n!}, \mbox{falls n gerade} \end{cases}
[/mm]
Wenn du also nun ins Kriterium von Cauchy-Hadamard einsetzt, ist [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \mbox{ falls n ungerade}\\ \frac{1}{n!}, \mbox{falls n gerade} \end{cases}.
[/mm]
(Das ist übrigens ein weiterer Einwand gegen die Verwendung des Quotientenkriteriums, bei welchen [mm] a_{n}\not= [/mm] 0 gefordert wird).
Einsetzen:
$r = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{0} [/mm] := [mm] \infty$
[/mm]
Okay?
Um die Identitäten nachzuweisen bei deiner zweiten Teilaufgabe, musst du eigentlich bloß in die Potenzreihen einsetzen!
Um die Quadrate auszurechnen, Cauchy-Produkt benutzen!
hier ein paar Denkanstöße 
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Di 05.01.2010 | | Autor: | deniz87 |
Vielen Dank für deine Antwort. Ich werde mir das ganze noch mal genau anschauen und versuchen den Konvergenzradius zu bestimmen. Falls ich noch Frage habe melde ich mich noch mal ;)
Viele Grüße
Deniz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 10.01.2010 | | Autor: | deniz87 |
Noch eine kurze Frage zum Konvergenzradius der 2. Funktion: heißt es dann (1+n)! falls n gerade ist?
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Hallo!
> Noch eine kurze Frage zum Konvergenzradius der 2. Funktion:
> heißt es dann (1+n)! falls n gerade ist?
Bei der zweiten Funktion ist doch:
$g(x) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$,
[/mm]
d.h.:
$g(x) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}z^{k}*\begin{cases}0, \mbox{ falls k gerade}\\ \frac{1}{k!}, \mbox{ falls k ungerade}\end{cases}$,
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 10.01.2010 | | Autor: | deniz87 |
Ok hab' nun versucht zu zeigen dass [mm] f^2(x)-g^{x}=1 [/mm]
Leider bin ich bei der Umformung steckengeblieben. Wisst ihr wo der Fehler liegen könnte?
[mm] f^2(x) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{x hoch 2k}{(2k)!}* \bruch{x hoch 2(n-k)}{2(n-k)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!}* \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] x hoch 2k * x hoch 2(n-k) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] x hoch 2n
[mm] g^2(x) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{x hoch 2k+1}{(2k+1)!}* \bruch{x hoch 2(n-k)+1}{(2(n-k)+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n+2)!}\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n+2 \\ 2k+1}x [/mm] hoch 2k+1 x hoch 2(n-k)+1 = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!}\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{2n\\ 2k+1}x [/mm] hoch 2k+1 x hoch 2n-2k-2. Leider kann ich nun [mm] f^2(x) -g^2(x) [/mm] nicht mehr ausrechnen.
Kann man f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y) nicht mit der Exponentialfunktion zeigen?
wobei
f(x+y) dann der Realteil von exp(i(x+y)) ist? oder geht das nicht da es sich bei f ja nicht um die Cosinusreihe handelt?
Viele Grüße
Deniz
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Hallo deniz,
> Ok hab' nun versucht zu zeigen dass [mm]f^2(x)-g^{x}=1[/mm]
> Leider bin ich bei der Umformung steckengeblieben. Wisst
> ihr wo der Fehler liegen könnte?
> [mm]f^2(x)[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{x hoch 2k}{(2k)!}* \bruch{x hoch 2(n-k)}{2(n-k)!}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!}* \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k}[/mm]
> x hoch 2k * x hoch 2(n-k) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!}[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k}[/mm]
> x hoch 2n
In dem Link, den ich dir oben gepostet hatte, wurden schon einige deiner Probleme behandelt. Es ist zum Beispiel
[mm] $\sum_{k=0}^{n}\vektor{2n\\2k} [/mm] = [mm] 2^{(2n-1)}$
[/mm]
für $n [mm] \ge [/mm] 1$, und hat den Wert 1 im Falle n = 0 (Im Gegensatz zu 1/2, wie die Formel berechnen würde).
Somit kannst du deine Summe nun umformen zu:
[mm] $f^{2}(x) [/mm] = [mm] 1+\summe_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}*2^{2n-1}$
[/mm]
> [mm]g^2(x)[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{x hoch 2k+1}{(2k+1)!}* \bruch{x hoch 2(n-k)+1}{(2(n-k)+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n+2)!}\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n+2 \\ 2k+1}x[/mm]
> hoch 2k+1 x hoch 2(n-k)+1 =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!}\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{2n\\ 2k+1}x[/mm]
> hoch 2k+1 x hoch 2n-2k-2. Leider kann ich nun [mm]f^2(x) -g^2(x)[/mm]
> nicht mehr ausrechnen.
Hier gilt für alle n [mm] \ge [/mm] 0:
[mm] $\sum_{k=0}^{n}\vektor{2n+2\\2k+1} [/mm] = [mm] 2^{(2n+1)}$,
[/mm]
eingesetzt also:
[mm] $g^{2}(x) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}*2^{(2n+1)}$
[/mm]
(Diese Formeln kannst du zum Beispiel mit Induktion beweisen, oder dir fällt was kluges ein, um sie von [mm] $\sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k} [/mm] = [mm] 2^{n}$ [/mm] herzuleiten.)
So, nun kannst du deine Summen voneinander abziehen!
> Kann man f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y) nicht mit der
> Exponentialfunktion zeigen?
> wobei
> f(x+y) dann der Realteil von exp(i(x+y)) ist? oder geht
> das nicht da es sich bei f ja nicht um die Cosinusreihe
> handelt?
Erstens hast du es hier mit des cosh/sinh-Funktionen und nicht mit den Cosinus/Sinus-Funktionen zu tun, wie du selbst festgestellt hast. Zweitens weißt du ja noch gar nicht, dass die Reihen überhaupt diese Funktionen sind und du kennst vielleicht gar keine Rechenregeln für diese.
Nein, ich vermute, die Aufgabensteller wollten, dass du fleißig das Cauchy-Produkt anwendest.
Grüße,
Stefan
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