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Hallo,
nach dem ersten Semester habe ich nun meine erste mündliche Prüfung und da sind noch ein paar offene Fragen bzw. Unsicherheiten. Wäre lieb, wenn mich jemand verbessern könnte 
Zum Thema " [mm] \IR [/mm] als vollständig archimedisch angeordneter Körper"
a) Zu den Anordnungsaxoimen gehört ja zu einem die Trichotomie (Für jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Relationen: a=0, a>0, a<0) und die Monotonie (Für zwei reelle Zahlen a,b>0 gilt: a+b>0 und a*b>0). Nun meine Frage: in einigen Büchern habe ich noch die Transitivität (Aus [mm] a,b,c\in\IR [/mm] und a<b und b<c folgt: a<c.) gefunden, gehört die denn zu den Anordnungsaxoimen dazu? Die Bücher sind sich da nicht so einig.
b) Wenn mich der Prof nach dem Vollständigkeitsaxoim fragt, ist es okay, wenn ich so antworte:
Die Vollständigkeit [mm] von\IR [/mm] ist dadurch definiert(?), dass in [mm] \IR [/mm] jede Cauchyfolge konvergiert. Dies kann man äquivalent mit der Supremumseigenschaft formulieren:
Jede nach oben (unten) beschränkte nichtleere Teilmenge von [mm] \IR [/mm] besitzt ein Supremum (Infimum).
Oder mit dem Intervallschachtelungsprinzip formuliert:
Zu jeder Intervallschachtelung in [mm] \IR [/mm] existiert eine reelle Zahl, die in jedem Intervall liegt.
Ist das richtig so???
Zum Thema "Folgen"
a) Die Formulierung "... sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge reeller Zahlen in M..." ist doch nicht ganz exakt, weil man ja gleich [mm] \IR [/mm] statt M nehmen müsste, weil das durch "Folge reeller Zahlen" festfelegt ist, oder?
b) Wir hatten mal das/den (?) Lemma:
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Damit meint man doch, dass sie durch ihren Grenzwert beschränkt ist, oder gibt es da andere Fälle (hoffe nicht...)?
Zum Thema "Reihen"
a) In vielen Büchern steht im Anschluss von der Definition von Reihen oft die Bemerkung "Aus jeder Folge kann man eine Reihe konstruieren." Wieso wird das so betont? Wieso lautet das nicht andersherum?
b) Zum Quotientenkonvergenzkriterium haben wir gelernt, dass es eine "hinreichende, nicht aber notwendige Bedingung ist". Mit dieser Formulierung kommt ich nicht ganz klar, kann mir das jemand erläutern?
Zum Thema "Potenzreihen"
Wir hatten die zwei Formeln von Euler:
r = lim [mm] \left|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \right|
[/mm]
und Cauchy-Hadamard:
r = [mm] \bruch{1}{limsup\wurzel[n]{|a_{n}|}}.
[/mm]
Ich weiß, dass die zweite immer funktioniert, die erste aber nicht immer. Aber wieso?
Noch etwas allgemeines:
Wenn ich die mathematische Formel "f: A->B" aussprechen würde, sage ich dann "die Abbildung f von A nach (auf???) B" ???
Naja, das war es erstmal mit meinen Fragen.
viele Grüße,
dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Di 08.03.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo,
>
> nach dem ersten Semester habe ich nun meine erste mündliche
> Prüfung und da sind noch ein paar offene Fragen bzw.
> Unsicherheiten. Wäre lieb, wenn mich jemand verbessern
> könnte
>
>
> Zum Thema " [mm]\IR[/mm] als vollständig archimedisch angeordneter
> Körper"
>
> a) Zu den Anordnungsaxoimen gehört ja zu einem die
> Trichotomie (Für jede reelle Zahl a gilt genau eine der
> drei Relationen: a=0, a>0, a<0) und die Monotonie (Für zwei
> reelle Zahlen a,b>0 gilt: a+b>0 und a*b>0). Nun meine
> Frage: in einigen Büchern habe ich noch die Transitivität
> (Aus [mm]a,b,c\in\IR[/mm] und a<b und b<c folgt: a<c.) gefunden,
> gehört die denn zu den Anordnungsaxoimen dazu? Die Bücher
> sind sich da nicht so einig.
Also ich kenne die Transitivitätseigenschaft für eine Ordnungsrelation. Ich weiss nicht ob man das axiomatisch festlegen muss, aber ich denke man muss es und wir haben es auch gemacht (TU Berlin / Prof. Ferus)
>
> b) Wenn mich der Prof nach dem Vollständigkeitsaxoim fragt,
> ist es okay, wenn ich so antworte:
> Die Vollständigkeit [mm]von\IR[/mm] ist dadurch definiert(?), dass
> in [mm]\IR[/mm] jede Cauchyfolge konvergiert. Dies kann man
> äquivalent mit der Supremumseigenschaft formulieren:
> Jede nach oben (unten) beschränkte nichtleere Teilmenge
> von [mm]\IR[/mm] besitzt ein Supremum (Infimum).
> Oder mit dem Intervallschachtelungsprinzip formuliert:
> Zu jeder Intervallschachtelung in [mm]\IR[/mm] existiert eine
> reelle Zahl, die in jedem Intervall liegt.
> Ist das richtig so???
Du kannst für die Vollständigkeit mehrere Dinge fordern. Die einfachste Formulierung ist vielleicht die Folgenabgeschlossenheit. Ist [mm] $(x_n)$ [/mm] eine konvergente Folge in einer abgeschlossenen Menge A, dann ist A vollständig, genau dann wenn jede konvergente Folge in A konvergiert.
Deine erste Formulierung stimmt mit dem Satz, dass jede Folge eine monotone Teilfoge besitzt und weil die Teilmenge beschränkt ist konvergiert die Folge dann auch und zwar gegen das Supremum. (Beweis?)
Ich lasse dies mal noch für andere zur Beantwortung offen wegen deiner zweiten Formulierung.
>
> Zum Thema "Folgen"
>
> a) Die Formulierung "... sei [mm](a_{n})[/mm] eine Folge reeller
> Zahlen in M..." ist doch nicht ganz exakt, weil man ja
> gleich [mm]\IR[/mm] statt M nehmen müsste, weil das durch "Folge
> reeller Zahlen" festfelegt ist, oder?
Wenn du sagst Folge reeller Zahlen in M heißt dass ganz einfach, dass M eine Teilmenge von IR ist. Du kannst deine Folge natürlich auch von IN -> IR definieren, aber im Endeffekt landen alle nur in M.
>
> b) Wir hatten mal das/den (?) Lemma:
das Lemma
> Jede konvergente Folge ist beschränkt.
> Damit meint man doch, dass sie durch ihren Grenzwert
> beschränkt ist, oder gibt es da andere Fälle (hoffe
> nicht...)?
Oh nein, das stimmt nicht. Wenn du dir die Folge [mm] $x_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{n}$ [/mm] anschaust, stellst du fest, dass der Grenzwert 0 ist. Aber 0 ist weder eine obere noch eine untere Schranke. Du kannst es dir anders aber verdeutlichen:
Wenn eine Folge konvergent ist liegen bis auf endlich(!) viele Folgenglieder alle Folgenglieder in einer Epsilon-Umgebung deines Grenzwertes. Angenommen das gilt für alle Filgenglieder ab dem N-ten. Dann ist
[mm] $\sup\{x_1, ... , x_N, a + \epsilon\}$ [/mm] eine obere Schranke und
[mm] $\inf\{x_1, ... , x_N, a- \epsilon\}$ [/mm] eine untere Schranke der Folge, wenn a der Grenzwert ist.
Versuche darüber zu grübeln, was das heißt. Im Beispiel was ich dir gegeben habe ist 1/2 eine obere Schranke, aber auch 37,6 ist eine obere Schranke. Eine untere Schranke wäre -1 z.B. aber auch -823,56.
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>
> Zum Thema "Reihen"
>
> a) In vielen Büchern steht im Anschluss von der Definition
> von Reihen oft die Bemerkung "Aus jeder Folge kann man eine
> Reihe konstruieren." Wieso wird das so betont? Wieso lautet
> das nicht andersherum?
Warum das so betont wird liegt im Ermessen des Autors. In der Tat hängen die Begriffe Reihe und Folge ziemlich eng zusammen. Diese Reihenkonstruktion macht man einfach durch aufaddieren der Folgenglieder. Andersherum kann man eine Reihe einfach als Folge vom Partialsummen betrachten.
>
> b) Zum Quotientenkonvergenzkriterium haben wir gelernt,
> dass es eine "hinreichende, nicht aber notwendige Bedingung
> ist". Mit dieser Formulierung kommt ich nicht ganz klar,
> kann mir das jemand erläutern?
Es gibt Reihen die erfüllen das Quotientenkriterium nicht und konvergieren dennoch.
Andersherum sagt das hinreichend aus, dass jede Reihe die das Quotientenkriterium erfüllt, auch konvergieren muss.
>
>
> Zum Thema "Potenzreihen"
>
> Wir hatten die zwei Formeln von Euler:
> r = lim [mm]\left|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \right|
[/mm]
> und
> Cauchy-Hadamard:
> r = [mm]\bruch{1}{limsup\wurzel[n]{|a_{n}|}}.
[/mm]
> Ich weiß, dass die zweite immer funktioniert, die erste
> aber nicht immer. Aber wieso?
Vergleiche oben das Quotientenkriterium. 
Die Hadamardgleichung gilt immer, wenn Konvergenz vorliegt. Sie ist also ein Verläßliches Kriterium und wird zur Bestimmung des Konvergenzradius herangezogen. Allerdings ist sie ziemlich umständlich auszurechnen und deswegen schaut man erst nach der ersten Gleichung ob sich der Aufwand überhaupt lohnt, oder ob man es nicht einfacher zeigen kann. *g
>
>
> Noch etwas allgemeines:
> Wenn ich die mathematische Formel "f: A->B" aussprechen
> würde, sage ich dann "die Abbildung f von A nach (auf???)
> B" ???
Ich würde sagen: "Die Abbildung f von A nach B..." Aber das ist reine Geschmackssache.
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> Naja, das war es erstmal mit meinen Fragen.
>
> viele Grüße,
> dancingestrella
>
Viel Glück bei der Prüfung,
Gruß Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:31 Di 08.03.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
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> > Noch etwas allgemeines:
> > Wenn ich die mathematische Formel "f: A->B" aussprechen
Je nach Prof. kann es vorkommen, dass (gerade bei Mathe-Dipl. Studies) großer Wert auf "pingelige" Ausdrucksweise gelegt wird. Dies gilt in besonderem Maße für die Begriffe, die ganz grundlegende Strukturen bezeichnen. $f: A [mm] \to [/mm] B$ ist zunächst erstmal lediglich die Festlegung, dass f eine Abbildung von A nach B sein soll.
>
> > würde, sage ich dann "die Abbildung f von A nach (auf???)
>
> > B" ???
> Ich würde sagen: "Die Abbildung f von A nach B..." Aber
> das ist reine Geschmackssache.
Wie oben erwähnt, schmeckt es vielen Profs eben nicht, wenn man für eine Abbildung, von der man noch nichts näheres weiß, den Begriff verwendet, der für surjektive Abbildungen (d.h. $f(A)=B$ oder [mm] $\forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A: b=f(a)$) reserviert ist. Dann und nur dann ist es angebracht, zu sagen, dass f A auf B abbildet.
> >
> >
> > Naja, das war es erstmal mit meinen Fragen.
> >
> > viele Grüße,
> > dancingestrella
> >
> Viel Glück bei der Prüfung,
>
> Gruß Micha
>
da schließe ich mich an.
Peter
P.S. diese vertrackten Geschichten mit injektiven, surjektiven, bijektiven und lokomotiven Abbildungen werden natürlich in jedem Einsteigerbuch über Algebra behandelt, aber mir hat damals "Algebraische Strukturen" von Serge Lang (Verl. Vandenhoek & Ruprecht) ganz gut geholfen. Davon müßtet Ihr stapelweise in der Uni-Bücherei bzw. Fachbereichsbibliothek haben.
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Hallo,
danke erstmal für eure Antworten
Irgendwie erschreckend wie schnell sich so Fehler einschleichen können, hoffentlich krieg ich noch viel vor der Prüfung weg!
"Vollständigkeit von [mm] \IR"
[/mm]
Die Folgenabgeschlossenheit hatten wir nie im Zusammenhäng mit der Vollständigkeit von [mm] \IR. [/mm] Ich persönlich finde das mit der Intervallschachtelung am "schönsten", d.h. ich kann mir darunter was vorstellen, irgendwie ist es so nett handhablich.
"Lemma: Jede konvergente Folge ist beschränkt."
Verdammt, na klar! Bei der konvergenten Besipielfolge [mm] (a_{n},n\in\IR,a_{n}:=\bruch{(-1)^n}{n}) [/mm] ist die Beschränktheit durch die größte untere Schranke (Infimum), also -1 und durch die kleinste obere Schranke (Supremum), also [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gegeben. Und nicht durch den Grenzwert.
Was ist nicht verstehe ist:
[mm] sup{x_{1},...,x_{N},a+\varepsilon} [/mm] = obere Schranke
[mm] inf{x_{1},...,x_{N},a-\varepsilon} [/mm] = untere Schranke.
Ich komme mit dem a +/- [mm] \varepsilon [/mm] nicht klar. Welche Folgenglieder sollen das sein???
"Potenzreihen: Euler-Formel ist hinreichend, aber nicht notwendig."
Muss ich da also den Bezug zum Quotientenkriterium erstellen? (hilfe.) Mit welcher besseren Begründung formuliere ich dies: "Euler ist hinreichend, aber nicht notwendig, weil dies ein "spezielles Quotientenkonvergenzkriterium" ist."??? Da tappe ich leider noch im Dunkeln. Unser Übi hat auch erwähnt, dass Hadamard praktisch vom Wurzelkriterium kommt. Ich glaube aber, dass wir das in der Vorlesung so direkt nicht angesprochen hatten: lässt man uns da absichtlich alleine? Ich fühle mich gerade mal wieder vom Prof betrogen
"F: A->B"
Also zusammengefasst: von A auf B wenn surjektiv. Und von A nach B sonst (auch wenn bijektiv, weil bijektiv = injektiv + surjektiv?).
Und bei der Abbildungsvorschrift, z.B. n|-> [mm] a_{n} [/mm] "n wird abgebildet auf [mm] a_{n}"?
[/mm]
Viele Grüße, dancingestrella
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 09.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> "Vollständigkeit von [mm]\IR"
[/mm]
> Die Folgenabgeschlossenheit hatten wir nie im Zusammenhäng
> mit der Vollständigkeit von [mm]\IR.[/mm] Ich persönlich finde das
> mit der Intervallschachtelung am "schönsten", d.h. ich kann
> mir darunter was vorstellen, irgendwie ist es so nett
> handhablich.
>
> "Lemma: Jede konvergente Folge ist beschränkt."
> Verdammt, na klar! Bei der konvergenten Besipielfolge
> [mm](a_{n},n\in\IR,a_{n}:=\bruch{(-1)^n}{n})[/mm] ist die
> Beschränktheit durch die größte untere Schranke (Infimum),
> also -1 und durch die kleinste obere Schranke (Supremum),
> also [mm]\bruch{1}{2}[/mm] gegeben. Und nicht durch den Grenzwert.
> Was ist nicht verstehe ist:
> [mm]sup{x_{1},...,x_{N},a+\varepsilon}[/mm] = obere Schranke
> [mm]inf{x_{1},...,x_{N},a-\varepsilon}[/mm] = untere Schranke.
> Ich komme mit dem a +/- [mm]\varepsilon[/mm] nicht klar. Welche
> Folgenglieder sollen das sein???
Das sind keine Folgenglieder sondern a ist der Grenzwert. ab irgendeinem N liegen alle xn in einer epsilonumgebung von a!
> "Potenzreihen: Euler-Formel ist hinreichend, aber nicht
> notwendig."
Wenn sie geht ist das gut, und man kann sie verwenden, aber sie trifft nicht immer zu: irgendein Koeffizient in der Reihe kann immer mal 0 sein und dann ist das Eulerkriterium sinnlos. z.Bsp die Reihe fuer sin, jeder zweite Koeffizient ist 0! aber Hadamar geht natuerlich auch da!
> Muss ich da also den Bezug zum Quotientenkriterium
> erstellen? (hilfe.) Mit welcher besseren Begründung
> formuliere ich dies: "Euler ist hinreichend, aber nicht
> notwendig, weil dies ein "spezielles
> Quotientenkonvergenzkriterium" ist."??? Da tappe ich leider
> noch im Dunkeln. Unser Übi hat auch erwähnt, dass Hadamard
> praktisch vom Wurzelkriterium kommt. Ich glaube aber, dass
> wir das in der Vorlesung so direkt nicht angesprochen
> hatten: lässt man uns da absichtlich alleine? Ich fühle
> mich gerade mal wieder vom Prof betrogen
>
> "F: A->B"
> Also zusammengefasst: von A auf B wenn surjektiv. Und von
> A nach B sonst (auch wenn bijektiv, weil bijektiv =
> injektiv + surjektiv?).
Im Allgemeinen ist "nach" immer richtig! Also verwend das.
> Und bei der Abbildungsvorschrift, z.B. n|-> [mm]a_{n}[/mm] "n wird
> abgebildet auf [mm]a_{n}"?
[/mm]
hier wird ja die genaue Vorschrift angegeben ein Element von A wird immer "auf" ein Element von B abgebildet!
noch zu deiner ersten Frage:
a) Zu den Anordnungsaxoimen gehört ja zu einem die Trichotomie (Für jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Relationen: a=0, a>0, a<0) und die Monotonie (Für zwei reelle Zahlen a,b>0 gilt: a+b>0 und a*b>0). Nun meine Frage: in einigen Büchern habe ich noch die Transitivität (Aus und a<b und b<c folgt: a<c.) gefunden, gehört die denn zu den Anordnungsaxoimen dazu? Die Bücher sind sich da nicht so einig.
So wie deine Definitionen sind fehlt nur noch die Definition von >. Es gilt
b>a wenn b-a>0. Dann ist die Transitivitaet[u] kein Axiom[u] sondern folgt aus a,b>0 a+b>0!
Die anderen Buecher haben wohl etwas andere Grundaxiome.
Du scheints dich wirklich gut vorzubereiten!
Denk dran, die meisten Profs sind daran interressiert, rauszukriegen, was du kannst, nicht deine Luecken zu finden! Also Selbstvertrauen!
Gruss leduart
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