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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | | Sei M ein endlich erzeugter A-Modul, und A ein kommutativer noetherscher Ring. Zeigen Sie, dass wenn es ein Primideal p in A gibt so dass der [mm] A_p [/mm] -Modul [mm] M_p [/mm] frei ist, dann gibt es ein [mm] s\in A\backslash [/mm] p so dass der [mm] A_s [/mm] -Modul [mm] M_s [/mm] auch frei ist. |
Hallo zusammen,
bei meinen Überlegungen bezüglich der obigen Aufgabe muss es einen Fehler geben.
Ein A-Modul M heißt frei (A ein kommutativer Ring), wenn es eine Basis [mm] B={m_1, ..., m_r} [/mm] hat.
Wenn M endlich erzeugt ist, dann hat es eine Basis und ist somit frei.
Wenn S eine multiplikative Menge in A ist, dann ist [mm] M_S [/mm] ebenfalls endlich erzeugt und hat eine Basis, und zwar beispielsweise [mm] {m_1/1, ..., m_r/1}. [/mm] Und somit müsste es ja auch frei sein. Aber dies gilt doch ganz allgemein für alle multiplikativen Mengen S [mm] \subseteq [/mm] A, und so gäbe es ja gar nichts zu zeigen.
Irgendwo muss es also einen Fehler geben in meinen Überlegungen.
Wir hatten frei definiert als: M ist frei wenn M [mm] \cong \oplus_{i \in S} M_i, M_i \cong [/mm] A als A-Modul, I eine Indexmenge. Aber dies ist ja äquivalent zur obigen Definition.
Ich freue mich auf Eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mo 19.12.2011 | | Autor: | statler |
> Sei M ein endlich erzeugter A-Modul, und A ein kommutativer
> noetherscher Ring. Zeigen Sie, dass wenn es ein Primideal p
> in A gibt so dass der [mm]A_p[/mm] -Modul [mm]M_p[/mm] frei ist, dann gibt es
> ein [mm]s\in A\backslash[/mm] p so dass der [mm]A_s[/mm] -Modul [mm]M_s[/mm] auch frei
> ist.
Mahlzeit!
> bei meinen Überlegungen bezüglich der obigen Aufgabe muss
> es einen Fehler geben.
>
> Ein A-Modul M heißt frei (A ein kommutativer Ring), wenn
> es eine Basis [mm]B={m_1, ..., m_r}[/mm] hat.
> Wenn M endlich erzeugt ist, dann hat es eine Basis und ist
> somit frei.
Da ist der Fehler! Nimm Z/3Z als Modul über Z/6Z.
> Wenn S eine multiplikative Menge in A ist, dann ist [mm]M_S[/mm]
> ebenfalls endlich erzeugt und hat eine Basis, und zwar
> beispielsweise [mm]{m_1/1, ..., m_r/1}.[/mm] Und somit müsste es ja
> auch frei sein. Aber dies gilt doch ganz allgemein für
> alle multiplikativen Mengen S [mm]\subseteq[/mm] A, und so gäbe es
> ja gar nichts zu zeigen.
>
> Irgendwo muss es also einen Fehler geben in meinen
> Überlegungen.
>
> Wir hatten frei definiert als: M ist frei wenn M [mm]\cong \oplus_{i \in S} M_i, M_i \cong[/mm]
> A als A-Modul, I eine Indexmenge. Aber dies ist ja
> äquivalent zur obigen Definition.
Moduln können ganz schön verzwickt sein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Di 20.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Dieter,
vielen Dank für Deine Antwort. 
Ok, also ein erzeugenden System muss keine Basis sein, da es nicht linear unabhängig sein muss.
Umgekehrt müsste eine Basis aber immer ein erzeugenden System sein.
[mm] M_p [/mm] hat eine endliche Basis, da es frei ist und endlich erzeugt ist (da M endlich erzeugt ist). Sei [mm] \{m_1/p_1, ..., m_r/p_r\} [/mm] eine solche Basis, mit [mm] m_i \in [/mm] M und [mm] p_i [/mm] in [mm] A\backslash [/mm] p, p das Primideal in A. Wir können annehmen dass die Basiselemente einen gemeinsamen Nenner haben. Falls nicht können wir sie durch erweitern auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Sei s dieser gemeinsame Nenner, und somit ist [mm] \{m_1/s, ..., m_r/s\} [/mm] nun unsere Basis.
Dieses s verwenden wir nun für den Raum [mm] M_s. [/mm] Nun haben Elemente in [mm] M_s [/mm] die Form: [mm] m/s^k, [/mm] k [mm] \in \IN_0. [/mm] Wir wissen dass ein solches Element [mm] m/s^k [/mm] in [mm] M_p [/mm] eine eindeutige Linearkombination besitzt: [mm] m/s^k=\summe_{i=1}^{r} a_i/q_i*m_i/s, a_i\in [/mm] A, [mm] q_i\in A\backslash [/mm] p. die [mm] q_i [/mm] müssen die Form s^(k-1) haben, damit die Summanden den Nenner [mm] s^k [/mm] haben und die Summe [mm] m/s^k [/mm] ergeben kann. Die Basis [mm] \{m_1/s, ..., m_r/s\} [/mm] ist ja auch in [mm] M_s [/mm] enthalten, und die Koeffizienten [mm] a_i/q_i [/mm] ebenfalls. Wenn die Linearkombination eindeutig war in [mm] A_p, [/mm] dann muss sie doch auch eindeutig sein in [mm] A_s, [/mm] oder nicht?
In meiner Argumentation befindet sich mich Sicherheit noch ein Fehler, und um diesen zu beheben wird man verwenden müssen dass der Ring A noethersch ist.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Di 20.12.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Hallo Dieter,
>
> vielen Dank für Deine Antwort.
>
> Ok, also ein erzeugenden System muss keine Basis sein, da
> es nicht linear unabhängig sein muss.
> Umgekehrt müsste eine Basis aber immer ein erzeugenden
> System sein.
>
> [mm]M_p[/mm] hat eine endliche Basis, da es frei ist und endlich
> erzeugt ist (da M endlich erzeugt ist). Sei [mm]\{m_1/p_1, ..., m_r/p_r\}[/mm]
> eine solche Basis, mit [mm]m_i \in[/mm] M und [mm]p_i[/mm] in [mm]A\backslash[/mm] p,
> p das Primideal in A. Wir können annehmen dass die
> Basiselemente einen gemeinsamen Nenner haben. Falls nicht
> können wir sie durch erweitern auf einen gemeinsamen
> Nenner bringen. Sei s dieser gemeinsame Nenner, und somit
> ist [mm]\{m_1/s, ..., m_r/s\}[/mm] nun unsere Basis.
>
Du kannst hier einfach s=1 wählen, weil 1/s eine Einheit ist.
> Dieses s verwenden wir nun für den Raum [mm]M_s.[/mm] Nun haben
> Elemente in [mm]M_s[/mm] die Form: [mm]m/s^k,[/mm] k [mm]\in \IN_0.[/mm] Wir wissen
> dass ein solches Element [mm]m/s^k[/mm] in [mm]M_p[/mm] eine eindeutige
> Linearkombination besitzt: [mm]m/s^k=\summe_{i=1}^{r} a_i/q_i*m_i/s, a_i\in[/mm]
> A, [mm]q_i\in A\backslash[/mm] p. die [mm]q_i[/mm] müssen die Form s^(k-1)
Das kann man so nicht machen. Die Abbildung [mm]M_{s}\to M_p[/mm] ist ja im Allgemeinen nicht injektiv. Du musst hier beachten wie die Äquivalenzrelation für die Lokalisierung definiert ist.
Mach es lieber so: Betrachte für die Basis [mm]\{m_{i}/1 \}[/mm] von [mm]M_p[/mm] die Abbildung [mm]f:A^{n}\to M[/mm], die die Basis von [mm]A^{n}[/mm] auf die [mm]m_{i}[/mm] schickt. kerf ist endlich da A noethersch, etwa mit erzeugern [mm] x_1,...,x_m. [/mm] Und die Lokalisierung nach dem PI p ist 0. D.h. für alle [mm] x_i [/mm] existiert ein [mm]a_i \not\in p[/mm] mit [mm]a_i x_i = 0[/mm]. Dann ist [mm]a:=\produkt a_i \in Ann_{A}ker(f)[/mm]. D.h. kerf verschwindet wenn man nach a lokalisiert. Das gleiche macht man dann für cokerf, und erhält ein [mm]b\in (Ann_{A}cokerf)\backslash p[/mm]. Dann ist ab dein gesuchtes Element.
> haben, damit die Summanden den Nenner [mm]s^k[/mm] haben und die
> Summe [mm]m/s^k[/mm] ergeben kann. Die Basis [mm]\{m_1/s, ..., m_r/s\}[/mm]
> ist ja auch in [mm]M_s[/mm] enthalten, und die Koeffizienten [mm]a_i/q_i[/mm]
> ebenfalls. Wenn die Linearkombination eindeutig war in [mm]A_p,[/mm]
> dann muss sie doch auch eindeutig sein in [mm]A_s,[/mm] oder nicht?
>
> In meiner Argumentation befindet sich mich Sicherheit noch
> ein Fehler, und um diesen zu beheben wird man verwenden
> müssen dass der Ring A noethersch ist.
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
Beste Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Berieux,
vielen Dank für deine Antwort.
Es sind jedoch ein paar Fragen offengeblieben.
Zuerst verstehe ich nicht warum die Abbildung [mm] M_s\Rightarrow M_p [/mm] nicht injektiv sein sollte.
Und warum ist die Lokalisierung von ker(f) nach dem Primideal p gleich 0?
Es ist ja eine Lokalisierung eines Untermoduls von [mm] A^n [/mm] nach p, also ist [mm] ker(f)_p [/mm] ein Untermodul von [mm] A^n_p. [/mm]
Die Idee hinter diesem ganzen Ansatz bleibt mir einfach noch verborgen.
Viele Grüße,
Vilietha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Hallo Berieux,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Es sind jedoch ein paar Fragen offengeblieben.
>
> Zuerst verstehe ich nicht warum die Abbildung
> [mm]M_s\Rightarrow M_p[/mm] nicht injektiv sein sollte.
>
Öhm, also die Frage ist hier eher wie du darauf kommst dass das injektiv sein sollte. Solche Abbildungen sind doch schon für Ringe im Allgemeinen nicht injektiv. Zb.: Wenn [mm] s^k [/mm] für alle k nicht im Annihilator von M liegt, ist [mm]M_s\neq 0[/mm]. Findet man aber irgendein [mm]f\in A\backslash p[/mm] das in AnnM liegt, so ist [mm]M_{p}=0[/mm]. Und die Abbildung nicht injektiv. Das ist aber nur der simpelste Fall. Damit diese Abbildungen injektiv sind, muss denke ich A ein Integritätsring und M torsionsfrei sein, ist also eher selten der Fall.
Ich denke du solltest dir nochmal das Konzept der Lokalisierung genau anschaun.
> Und warum ist die Lokalisierung von ker(f) nach dem
> Primideal p gleich 0?
> Es ist ja eine Lokalisierung eines Untermoduls von [mm]A^n[/mm]
> nach p, also ist [mm]ker(f)_p[/mm] ein Untermodul von [mm]A^n_p.[/mm]
>
Ja du hast [mm](A^{n})_{p}= (A_{p})^{n}[/mm]. Und f induziert eine Abbildung [mm]f_{p}:(A_{p})^{n}\to M_{p}[/mm], und es ist [mm](kerf)_{p}=ker(f_{p})=0[/mm] weil ja f gerade so konstruiert ist, dass in der Lokalisierung Basis auf Basis geht.
Viele Grüße,
Berieux
> Die Idee hinter diesem ganzen Ansatz bleibt mir einfach
> noch verborgen.
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
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Hallo Berieux,
vielen Dank für deine Antwort.
Nun habe ich schon mehr verstanden, und habe nun auch eine Vermutung was die Idee hinter deinem Ansatz ist.
Aber mindestens drei Dinge verstehe ich noch nicht.
Elemente in [mm] A^n [/mm] haben ja Form [mm] (a_1,... ,a_n), [/mm] und als Basiselemente könnte man (1,...,0) usw. nehmen.
Warum muss es für jedes [mm] x_i [/mm] in [mm] A^n [/mm] ein [mm] a_i [/mm] in [mm] A\backslash [/mm] p geben mit [mm] x_i*a_i [/mm] = 0?
Falls für ein [mm] x\in A^n [/mm] gilt: f(x) = 0, dann kann ich nun auch sehen dass x/a [mm] \in ker(f_p) [/mm] sein muss für alle a [mm] \in A\backslash [/mm] p. Denn dann ist [mm] f_p(x/a)=f(x)/a [/mm] = 0/a. Somit ist [mm] ker(f)_p \subseteq ker(f_p). [/mm] Aber warum muss dies auch umgekehrt gelten? Falls [mm] f_p(x/a)=m/a'=0, [/mm] dann muss m ja nicht gleich 0 sein, sondern der Bruch muss ja nur nach erweitern 0 sein. Und dann könnte [mm] f(x)=m\neq [/mm] 0 sein.
Zu guter letzt, wenn a [mm] \in Ann_A(ker(f)) [/mm] ist, was genau kann ich nun daraus schließen?
Ich vermute fast dass du darauf hinaus willst dass das gesuchte Element s:=a*b (wie von dir oben definiert) in [mm] Ann_A(M) [/mm] sein muss, und dann wäre [mm] M_s [/mm] ja gleich 0. Wenn dies tatsächlich so sein sollte, wie kann man das zeigen?
Viele Grüße,
Vilietha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 24.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 24.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Matux,
vielen Dank für den Hinweis, und die damit verbundene Mühe. Ich weiß ja mittlerweile dass du nicht allzu gut im Tippen bist  .
Ich bin an einer Antwort meiner vorherigen Frage noch immer interessiert. Obwohl ich mittlerweile vermute dass meine Vermutung mit [mm] M_s [/mm] = 0 nicht richtig ist.
Viele Grüße,
Vilietha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Do 29.12.2011 | | Autor: | Berieux |
Siehe die Mitteilung zu deiner veralteten Frage.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Do 29.12.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Hallo Berieux,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Nun habe ich schon mehr verstanden, und habe nun auch eine
> Vermutung was die Idee hinter deinem Ansatz ist.
>
> Aber mindestens drei Dinge verstehe ich noch nicht.
>
> Elemente in [mm]A^n[/mm] haben ja Form [mm](a_1,... ,a_n),[/mm] und als
> Basiselemente könnte man (1,...,0) usw. nehmen.
> Warum muss es für jedes [mm]x_i[/mm] in [mm]A^n[/mm] ein [mm]a_i[/mm] in [mm]A\backslash[/mm]
> p geben mit [mm]x_i*a_i[/mm] = 0?
>
Nicht für jedes [mm] x_i [/mm] aus [mm] A^n [/mm] sondern für alle Erzeuger von kerf.
> Falls für ein [mm]x\in A^n[/mm] gilt: f(x) = 0, dann kann ich nun
> auch sehen dass x/a [mm]\in ker(f_p)[/mm] sein muss für alle a [mm]\in A\backslash[/mm]
> p. Denn dann ist [mm]f_p(x/a)=f(x)/a[/mm] = 0/a. Somit ist [mm]ker(f)_p \subseteq ker(f_p).[/mm]
> Aber warum muss dies auch umgekehrt gelten? Falls
> [mm]f_p(x/a)=m/a'=0,[/mm] dann muss m ja nicht gleich 0 sein,
> sondern der Bruch muss ja nur nach erweitern 0 sein. Und
> dann könnte [mm]f(x)=m\neq[/mm] 0 sein.
>
Ist [mm]\bruch{x}{a} \in ker(f_{p})[/mm] so existiert ein [mm]s\in A\p [/mm] mit [mm] 0=s*f(x)=f(sx) [/mm], also [mm]sx \in kerf [/mm] lokalisiert man jetzt nach p, sieht man sofort dass [mm]x/a = (xs/1)*(1/as) \in (kerf)_{p}[/mm].
> Zu guter letzt, wenn a [mm]\in Ann_A(ker(f))[/mm] ist, was genau
> kann ich nun daraus schließen?
> Ich vermute fast dass du darauf hinaus willst dass das
> gesuchte Element s:=a*b (wie von dir oben definiert) in
> [mm]Ann_A(M)[/mm] sein muss, und dann wäre [mm]M_s[/mm] ja gleich 0. Wenn
Nein! Wenn [mm]a \in Ann_A(ker(f))[/mm] Dann ist [mm]ker(f)_{a}=0 [/mm]. Und in [mm]M_{b} [/mm] ist [mm]coker(f)_{b} = 0[/mm]. Und nach ab lokalisiert verschwinden dann sowohl kern als auch cokern, dass bedeutet du hast einen Isomorphismus vom freien Modul [mm]A_{s}^{n}[/mm] nach [mm] M_{s}[/mm].
Beste Grüße,
Berieux
> dies tatsächlich so sein sollte, wie kann man das zeigen?
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Berieux,
vielen Dank für Deine Antwort!
Ich verstehe nun wieder ein bisschen mehr.
Jedoch leider noch immer nicht alles...
Wenn ich dich richtig verstehe ist [mm] ker(f)_p=0. [/mm]
Und das folgt daraus dass [mm] ker(f)_p=ker(f_p) [/mm] ist, und [mm] A^n_p \cong M_p [/mm] (da die Basis von [mm] A^n [/mm] abgebildet nach [mm] A^n_p [/mm] mit der kanonischen Abbildung auch eine Basis für [mm] A^n_p [/mm] ist) und somit [mm] A_n^p \cong M_p?
[/mm]
Wenn [mm] ker(f)_p [/mm] wirklich 0 ist, dann verstehe ich warum für alle [mm] x\in [/mm] ker(f) ein a [mm] \in [/mm] A existiert mit a*x = 0. Ansonsten leider noch nicht.
Und Du hast geschrieben dass man für coker(f) genauso vorgeht. Aber ich verstehe nicht wie, denn da wird ja nie etwas null...
Ich freue mich auf weitere Hilfe.
Viele Grüße,
Vilietha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Do 05.01.2012 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Hallo Berieux,
>
> vielen Dank für Deine Antwort!
>
> Ich verstehe nun wieder ein bisschen mehr.
> Jedoch leider noch immer nicht alles...
>
> Wenn ich dich richtig verstehe ist [mm]ker(f)_p=0.[/mm]
> Und das folgt daraus dass [mm]ker(f)_p=ker(f_p)[/mm] ist, und [mm]A^n_p \cong M_p[/mm]
> (da die Basis von [mm]A^n[/mm] abgebildet nach [mm]A^n_p[/mm] mit der
> kanonischen Abbildung auch eine Basis für [mm]A^n_p[/mm] ist) und
> somit [mm]A_n^p \cong M_p?[/mm]
>
Ja!
> Wenn [mm]ker(f)_p[/mm] wirklich 0 ist, dann verstehe ich warum für
> alle [mm]x\in[/mm] ker(f) ein a [mm]\in[/mm] A existiert mit a*x = 0.
> Ansonsten leider noch nicht.
>
> Und Du hast geschrieben dass man für coker(f) genauso
> vorgeht. Aber ich verstehe nicht wie, denn da wird ja nie
> etwas null...
>
Doch da [mm]M_{p}\cong A_{p}^{n} [/mm] ist natürlich auch [mm]cokern(f)_{p}=0[/mm]
> Ich freue mich auf weitere Hilfe.
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
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