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| Aufgabe | | Bestimmung von Kern A mit A = [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 1 }. [/mm] |
Hallo.
Wenn ich den Gaußalg. auf diese Matrix anwende erhalte ich:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Dies entspricht einer Gleichung mit 4 Variablen [mm] \Rightarrow [/mm] 3 Freiheitsgrade. Weiterhin gilt, dass [mm] x_3 [/mm] beliebig aus [mm] \IR [/mm] ist. Meine Frage ist jetzt, wie ich am geschicktesten Vorgehe.
Möglichkeit 1:
Intuitiv hätte ich [mm] x_3 [/mm] = r [mm] \in \IR [/mm] gesetzt, was nichts an obiger Gleichung ändert bzw. keinen Einfluss ausübt. Einen Freiheitsgrad habe ich aber dadurch bereits "verbraucht"? Wähle dann [mm] x_1=s [/mm] und [mm] x_2=t \Rightarrow x_4 [/mm] = s - t.
Insgesamt: [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \vektor{s \\ t \\ r \\ s-t} [/mm] = [mm] \vektor{s \\ 0 \\ 0 \\ s} [/mm] + [mm] \vektor{0\\ t \\ 0 \\ -t} [/mm] + [mm] \vektor{0\\0\\r\\0} [/mm] = s * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{0\\ 1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + r * [mm] \vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] .
Somit wäre eine Basis des Kerns von A: [mm] \{ \vektor{1\\0\\0\\1},\vektor{0\\ 1 \\ 0 \\-1}, \vektor{0\\0\\1\\0} \}
[/mm]
Möglichkeit 2:
Da [mm] x_3 [/mm] = [mm] r\in \IR [/mm] sowieso beliebig ist führt die Wahl von [mm] x_3 [/mm] = r eben nicht zu einer Verminderung der verbleibenden Freiheitsgrade. Somit würde es heíßen: [mm] x_1 [/mm] = s, [mm] x_2 [/mm] = t und [mm] x_3 [/mm] = w. Jetzt stellt man normalerweise nach einer verbleibenden Variable um (wie oben). Da aber keine Variable übrig bleibt, die nicht mit 0 multipliziert wird, funktioniert das nicht so wie ich es will, oder?
Generell halte ich Möglichkeit 2 für "richtig". Würde mich über eine Hilfestellung dazu freuen.
Liebe Grüße,
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Sa 30.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmung von Kern A mit A = [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 1 }.[/mm]
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> Hallo.
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> Wenn ich den Gaußalg. auf diese Matrix anwende erhalte
> ich:
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }.[/mm]
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> Dies entspricht einer Gleichung mit 4 Variablen [mm]\Rightarrow[/mm]
> 3 Freiheitsgrade. Weiterhin gilt, dass [mm]x_3[/mm] beliebig aus [mm]\IR[/mm]
> ist. Meine Frage ist jetzt, wie ich am geschicktesten
> Vorgehe.
>
> Möglichkeit 1:
> Intuitiv hätte ich [mm]x_3[/mm] = r [mm]\in \IR[/mm] gesetzt, was nichts an
> obiger Gleichung ändert bzw. keinen Einfluss ausübt.
> Einen Freiheitsgrad habe ich aber dadurch bereits
> "verbraucht"? Wähle dann [mm]x_1=s[/mm] und [mm]x_2=t \Rightarrow x_4[/mm]
> = s - t.
> Insgesamt: [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] = [mm]\vektor{s \\ t \\ r \\ s-t}[/mm]
> = [mm]\vektor{s \\ 0 \\ 0 \\ s}[/mm] + [mm]\vektor{0\\ t \\ 0 \\ -t}[/mm] +
> [mm]\vektor{0\\0\\r\\0}[/mm] = s * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] + t *
> [mm]\vektor{0\\ 1 \\ 0 \\ -1}[/mm] + r * [mm]\vektor{0\\0\\1\\0}[/mm] .
> Somit wäre eine Basis des Kerns von A: [mm]\{ \vektor{1\\0\\0\\1},\vektor{0\\ 1 \\ 0 \\-1}, \vektor{0\\0\\1\\0} \}[/mm]
Das ist O.K.
>
> Möglichkeit 2:
> Da [mm]x_3[/mm] = [mm]r\in \IR[/mm] sowieso beliebig ist führt die Wahl von
> [mm]x_3[/mm] = r eben nicht zu einer Verminderung der verbleibenden
> Freiheitsgrade. Somit würde es heíßen: [mm]x_1[/mm] = s, [mm]x_2[/mm] = t
> und [mm]x_3[/mm] = w. Jetzt stellt man normalerweise nach einer
> verbleibenden Variable um (wie oben). Da aber keine
> Variable übrig bleibt, die nicht mit 0 multipliziert wird,
> funktioniert das nicht so wie ich es will, oder?
>
Wo ist [mm] x_4 [/mm] geblieben ????
> Generell halte ich Möglichkeit 2 für "richtig". Würde
> mich über eine Hilfestellung dazu freuen.
>
> Liebe Grüße,
> Katrin
Ich mach es immer so (da muss man fast nix denken):
Aus der erstenZeile der Matrix folgt:
[mm] x_1=x_2 [/mm] + [mm] x_4
[/mm]
Dann schreibe ich das so:
[mm] x_1=x_2+...+ x_4
[/mm]
[mm] x_2=x_2
[/mm]
[mm] x_3= \quad x_3
[/mm]
[mm] x_4= \quad \quad x_4
[/mm]
Setze [mm] r=x_2, s=x_3 [/mm] und [mm] t=x_4
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Katti1712 |
Hallo Fred.
> Wo ist [mm]x_4[/mm] geblieben ????
Hab mich ausversehen verschrieben. Habe 2-mal [mm] x_3 [/mm] benannt. Das zweite sollte [mm] x_4 [/mm] = w heißen.
> Ich mach es immer so (da muss man fast nix denken):
>
> Aus der erstenZeile der Matrix folgt:
>
> [mm]x_1=x_2[/mm] + [mm]x_4[/mm]
>
> Dann schreibe ich das so:
>
> [mm]x_1=x_2+...+ x_4[/mm]
> [mm]x_2=x_2[/mm]
> [mm]x_3= \quad x_3[/mm]
> [mm]x_4= \quad \quad x_4[/mm]
>
> Setze [mm]r=x_2, s=x_3[/mm] und [mm]t=x_4[/mm]
>
> FRED
Wunderbar und vielen Dank für deine Antwort :).
Lieben Gruß
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