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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Fr 06.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich verstehe die ![[]](/images/popup.gif) Forbenius-Normalform einfach nicht - nach etlichen malen durchlesen, nach dem lesen des Wikipediartikels Polynomring und nach viel nachdenken. Wir haben es nicht in der Vorlesung gehabt.
Wäre nett, wenn jemand mit ein bisschen intuitiv erklären könnte wie das gemeint ist.
Also ich schreibe mal die Erklärung ab:
Verallgemeinerung der Diagonalisierung
Wenn eine Matrix A [mm] \in K^{nxn} [/mm] diagonalisierbar ist, zerfällt ihr charak. Polynom in Linearfaktoren (x - [mm] x_{0})(...)(x-x_{n}) [/mm] mit Eigenwerten [mm] x_{i} \in [/mm] K. Die zugehörigen Eigenvektoren [mm] v_{i} [/mm] bilden eine Basis des Vektorraumes [mm] K^{n}, [/mm] in der jeder Basisvektor durch A auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet wird.
Sind die Eigenvektoren nicht linear unabhängig, geht das nicht, da keine invertierbare Transformationsmatrix gefunden werden kann.
Zur Ermittlung der Frobenius-Normalform von A wird dann eine Basis aus Vektoren gesucht,[ab genau hier versteh ich gar nichts mehr] die von bestimmten Produkten der irreduziblen Faktoren [mm] f_{i}(A) [/mm] = [mm] p_{j1}(A)*...*p_{jk}(A) [/mm] etc. zu Null gemacht werden. Es zeigt sich, dass dies möglich ist und man schliesslich eine Darstellung f = [mm] f_{1}*...*f_{m} [/mm] erhält,in der [mm] f_{1} [/mm] Teiler von [mm] f_{2}, f_{2} [/mm] Teiler von [mm] f_{3} [/mm] usw. ist. Zum Faktor [mm] f_{i} [/mm] = [mm] x^{d} [/mm] + [mm] a_{d-1}*x^{d-1} [/mm] + ... + [mm] a_{0} [/mm] gehören dabei die Basisvektoren [mm] (v_{i},Av_{i},...,A^{d-1}v_{i}),deren [/mm] Teilraum wegen [mm] f_{i}(A)v_{i} [/mm] = 0 = [mm] (A^{d} [/mm] + [mm] a_{d-1}*A^{d-1} [/mm] + ... + [mm] E*a_{0})*v_{i} [/mm] von A in sich abgebildet wird und auf dem A bezüglich dieser Basisvektoren durch die Matrix [mm] B_{f_{i}} [/mm] dargestellt wird.
Wobei [mm] B_{f_{i}} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & ... & 0 & -a_{0} \\ 1 & 0 & ... & -a_{1} \\ 0 & 1 & 0 & ... \\ 0 & ... & 1 & -a_{d-1}}
[/mm]
Der gesammte Vektorraum [mm] K^{n} [/mm] zerfällt in solche A-invarianten Teilräume, und A lässt sich insgesamt durch die Blockdiagonalmatrix B darstellen.
Wobei B = [mm] diag(B_{f_{1}},...,B_{f_{k}})
[/mm]
1.Frage: Wie sollen die Vektoren zu Null gemacht werden? Eine Basis kann ja durch Linearfaktoren eben nicht zu Null gemacht werden...
2. Ich versteh vieles sonst auch nicht weiss aber gar nicht was fragen.
Bekannt ist mir ein bisschen der Krylov-Unterraum mit diesen [mm] A^{k} [/mm] mit denen eine Basis aufgebaut wird.
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Sa 07.05.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo qsxqsx,
hier wird [mm] $K^n$ [/mm] als '$K[X]$-Modul bezüglich $A$' aufgefasst.
Für $i [mm] \in \mathbb{N}$, $v\in K^n$ [/mm] und das Polynom $p = [mm] X^i$ [/mm] gilt beispielsweise: $pv = X^iv= A^iv$.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Sa 07.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo mathfunnel,
Danke, das hat ein Stück weiter geholfen. Es ist also so, dass man anstelle A auch x betrachten kann - in einem Art anderen Raum. (Homomorphismus oder so).
Wenn mir jemand vielleicht noch sagen könnte was mit
a.) "...Basis aus Vektoren die aus irreduziblen Faktoren zu Null gemacht werden"
b.) A-invarianter Teilraum
gemeinst ist, wäre ich im Stande alles zu Entziffern.
Grüsse!
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Hallo qsxqsx!
> Wenn mir jemand vielleicht noch sagen könnte was mit
> a.) "...Basis aus Vektoren die aus irreduziblen Faktoren > zu Null gemacht werden"
> b.) A-invarianter Teilraum
zu a)
Beispiel:
[mm] $b_i [/mm] , i = [mm] 1,\ldots, n,\;\;K^n$-Basis.
[/mm]
[mm] $p_i [/mm] := [mm] X-\alpha_i$, [/mm] irreduzibler Faktor das charakteristischen Polynoms, [mm] $\alpha_i \in [/mm] K$
$p [mm] \cdot v_i [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow (X-\alpha_i)\cdot v_i [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow (A-\alpha_i)(v_i)= [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow A(v_i) [/mm] - [mm] \alpha_i\cdot v_i [/mm] = [mm] 0\Leftrightarrow A(v_i) [/mm] = [mm] \alpha_i\cdot v_i$
[/mm]
zu b)
Hier gilt:
$U [mm] \leq K^n$ [/mm] ist $A$-invarianter Unterraum, wenn [mm] $\forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U: Au [mm] \in [/mm] U$
Also ist $U$ wieder ein $K[X]$-Untermodul via A.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Sa 07.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Super... Habe zwar die Frobenius-Normalform noch nicht in ihrer Gesamtheit mit allen Zusammenhängen verstanden, aber eine Menge gelernt. Nochmals drüber schlafen...
Grüsse!!!
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