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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Di 21.06.2011 | | Autor: | hilbert |
Hallo,
Aufgabe ist es zu zeigen, dass folgende Normen vertraglich sind:
Frobeniusnorm:
[mm] \parallel A\parallel [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}a_{ij}^2}
[/mm]
euklidische Norm:
|x| = [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_i^2}
[/mm]
Also ist folgendes zu zeigen:
|Ax| [mm] \le \parallel A\parallel [/mm] |x|
Ich habe jetzt noch ein wenig rumgerechnet und komme auf folgendes:
|Ax| = [mm] |\summe_{i=1}^{n}a_{ji}x_i|
[/mm]
Also ist
[mm] |Ax|^2 [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n}a_{ji}x_i)^2
[/mm]
Jetzt schaue ich mir [mm] (\summe_{i=1}^{n}a_{ji}x_i)^2 [/mm] an.
Das ist ja nichts anderes als [mm] ^2 [/mm] wobei <.,.> das Standardskalarprodukt ist.
Nach CSU ist dann
[mm] ^2 \le |a_{ji}|^2 [/mm] + [mm] |x_i|^2
[/mm]
Also komme ich dann auf:
[mm] \summe_{j=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n}a_{ji}x_i)^2 \le \summe_{j=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n}a_{ji}^2*\summe_{i=1}^{n}x_i^2)
[/mm]
Aber jetzt komme ich nicht weiter.
Wie komme ich jetzt von [mm] \summe_{j=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n}a_{ji}^2*\summe_{i=1}^{n}x_i^2)
[/mm]
mit weiteren Umformungen auf
[mm] (\summe_{j=1}^{n}\summe_{i=1}^{n}a_{ji}^2) *\summe_{i=1}^{n}x_i^2 [/mm] = [mm] ||A||^2 [/mm] * [mm] |x|^2
[/mm]
Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 21.06.2011 | | Autor: | hilbert |
Habe meine Lösung aktualisiert.
Das vorher war Quatsch.
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
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Hallo
> Hallo,
>
> Aufgabe ist es zu zeigen, dass folgende Normen vertraglich
> sind:
>
> Frobeniusnorm:
>
> [mm]\parallel A\parallel[/mm] =
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}a_{ij}^2}[/mm]
>
> euklidische Norm:
>
> |x| = [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_i^2}[/mm]
>
> Also ist folgendes zu zeigen:
>
> |Ax| [mm]\le \parallel A\parallel[/mm] |x|
>
> Ich habe jetzt noch ein wenig rumgerechnet und komme auf
> folgendes:
>
> |Ax| = [mm]|\summe_{i=1}^{n}a_{ji}x_i|[/mm]
>
> Also ist
> [mm]|Ax|^2[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n}a_{ji}x_i)^2[/mm]
>
> Jetzt schaue ich mir [mm](\summe_{i=1}^{n}a_{ji}x_i)^2[/mm] an.
>
> Das ist ja nichts anderes als [mm]^2[/mm] wobei <.,.>
> das Standardskalarprodukt ist.
> Nach CSU ist dann
>
> [mm]^2 \le |a_{ji}|^2[/mm] + [mm]|x_i|^2[/mm]
Hier meintest du eher [mm]^2 \le |a_{ji}|^2 * |x_i|^2[/mm] was du weiter unten hast. Sonst habe ich hier keinen Fehler gefunden.
Man sollte vielleicht noch sagen, dass du hier z.B. [mm] $a_{ji}$ [/mm] als Vektor [mm] $\{a_{ji}\}_{i=1}^n$ [/mm] verstehst.
> Also komme ich dann auf:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n}a_{ji}x_i)^2 \le \summe_{j=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n}a_{ji}^2*\summe_{i=1}^{n}x_i^2)[/mm]
>
> Aber jetzt komme ich nicht weiter.
>
> Wie komme ich jetzt von
> [mm]\summe_{j=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n}a_{ji}^2*\summe_{i=1}^{n}x_i^2)[/mm]
>
> mit weiteren Umformungen auf
>
> [mm](\summe_{j=1}^{n}\summe_{i=1}^{n}a_{ji}^2) *\summe_{i=1}^{n}x_i^2[/mm]
> = [mm]||A||^2[/mm] * [mm]|x|^2[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus
Kann man hier jetzt nicht einfach [mm]\summe_{i=1}^{n}x_i^2[/mm] ausklammern? Wir haben Summe über $j$
[mm]\summe_{j=1}^{n} \left[ \left(\summe_{i=1}^{n}a_{ji}^2 \right)*\left(\summe_{i=1}^{n}x_i^2 \right) \right] [/mm] aber [mm]\summe_{i=1}^{n}x_i^2[/mm] hängt nicht von $j$ ab.
[mm]= \left(\summe_{i=1}^{n}x_i^2 \right) \summe_{j=1}^{n} \left(\summe_{i=1}^{n}a_{ji}^2 \right) [/mm]
Dann hast du es gleich, aber vielleicht sehe ich es falsch :)
Strangelet
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