Fundamentalsatz der Analysis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei $V$ ein normierter Vektorraum, D [mm] \subseteq [/mm] V offen. Bezeichne [mm] X:=\{x \in D: \vert x-a \vert \leq \delta\} [/mm] für ein [mm] \delta [/mm] >0 und sei f:D [mm] \to [/mm] V eine stetig diffbare Abbildung mit f'(a)=0.
Folgern sie aus [mm] $\vert f'(x)\vert \leq \frac{1}{2}$ [/mm] für [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ die Eigenschaft [mm] $\vert f(x_1)-f(x_2)\vert \leq \frac{1}{2} \vert x_1-x_2\vert. [/mm] |
Hallo,
in einem vorliegenden Beweis wird das über den Fundamentalsatz der Analysis gemacht, d.h. ist f:[a,b] [mm] \to [/mm] V eine stetig diffbare Funktion, dann gilt
[mm] $\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$ [/mm] und dabei wird dieser auch nur zitiert und gesagt, dass es damit sofort folgt.
Nun sind doch bei mir das [mm] $x_1$ [/mm] und das [mm] $x_2$ [/mm] aber Vektoren und keine reelle Zahlen, also kann ich schlecht die vorgegebene Ungleichung einfach von [mm] $x_1$ [/mm] bis [mm] $x_2$ [/mm] integrieren, oder?
Weiß jemand, wie das gemeint ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Mo 20.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]V[/mm] ein normierter Vektorraum, D [mm]\subseteq[/mm] V offen.
> Bezeichne [mm]X:=\{x \in D: \vert x-a \vert \leq \delta\}[/mm] für
> ein [mm]\delta[/mm] >0 und sei f:D [mm]\to[/mm] V eine stetig diffbare
> Abbildung mit f'(a)=0.
> Folgern sie aus [mm]$\vert f'(x)\vert \leq \frac{1}{2}$[/mm] für
> [mm]$x_1,x_2 \in[/mm] X$ die Eigenschaft [mm]$\vert f(x_1)-f(x_2)\vert \leq \frac{1}{2} \vert x_1-x_2\vert.[/mm]
>
> Hallo,
>
> in einem vorliegenden Beweis wird das über den
> Fundamentalsatz der Analysis gemacht, d.h. ist f:[a,b] [mm]\to[/mm]
> V eine stetig diffbare Funktion, dann gilt
> [mm]\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)[/mm] und dabei wird dieser auch
> nur zitiert und gesagt, dass es damit sofort folgt.
> Nun sind doch bei mir das [mm]x_1[/mm] und das [mm]x_2[/mm] aber Vektoren
> und keine reelle Zahlen, also kann ich schlecht die
> vorgegebene Ungleichung einfach von [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_2[/mm]
> integrieren, oder?
>
> Weiß jemand, wie das gemeint ist?
Fasse das Integral als Kurvenintegral auf. Da X einfach zusammenhängend ist, hängt das Integral nur von den Endpunkten des Integrationsweges ab.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Unk |
> Fasse das Integral als Kurvenintegral auf. Da X einfach
> zusammenhängend ist, hängt das Integral nur von den
> Endpunkten des Integrationsweges ab.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Also kann ich das einfach so hinschreiben
[mm] $\Vert \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx\Vert =\Vert \int_0^1 f(x_1+x(x_2-x_1)) [/mm] dx [mm] \Vert.$?
[/mm]
Das geht ja irgendwie nicht, da muss doch noch der Substitutionsterm bzgl. der Parametrisierung rein; dann komme ich aber nicht mehr auf das richtige.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ein paar Tipps:
bei der Aufgabe würde ich, wenn ich keine Ahnung hätte, erstmal nachgucken, wie die Fréchet-Differenzierbarkeit definiert ist. Außerdem muß ja auch irgendwo [mm] $f'(a)=0\,$ [/mm] eingehen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Unk |
> Hallo,
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> ein paar Tipps:
> bei der Aufgabe würde ich, wenn ich keine Ahnung hätte,
> erstmal nachgucken, wie die Fréchet-Differenzierbarkeit
> definiert ist. Außerdem muß ja auch irgendwo [mm]f'(a)=0\,[/mm]
> eingehen!
>
> Gruß,
> Marcel
Nein, Frechet-Diff.barkeit braucht man hier nicht. f'(a)=0 ist bereits eingegangen, nämlich an der Stelle, dass [mm] $\Vert [/mm] f'(x) [mm] \Vert \leq [/mm] 1/2$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$ ist, d.h. hier wurde die Stetigkeit benutzt.
Das mit dem Kurvenintegral erscheint mir ja schon ganz richtig, ich weiß bloß noch nicht, wie man es genau aufschreiben soll.
Nehme ich mir also nochmal meine Parametrisierung [mm] $\phi(t)=x_1+t(x_2-x_1)$. [/mm] Dann komme ich doch nie da hin, wo ich hin will.
Aber es kann nicht besonders schwer sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > ein paar Tipps:
> > bei der Aufgabe würde ich, wenn ich keine Ahnung
> hätte,
> > erstmal nachgucken, wie die Fréchet-Differenzierbarkeit
> > definiert ist. Außerdem muß ja auch irgendwo [mm]f'(a)=0\,[/mm]
> > eingehen!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Nein, Frechet-Diff.barkeit braucht man hier nicht.
Du hast eine Funktion, die auf einem normierten Vektorraum definiert ist. Die Ableitung ist stetig. Soweit ich weiß, ist das dann eine Gâteaux-diff'bare Funktion, die wegen der Stetigkeit der Ableitung (auf einem Kompaktum? Ist [mm] $X\,$ [/mm] kompakt? Siehe das P.S. unten!) Fréchet-diff'bar ist. Kann aber auch sein, dass ich gerade einen Knoten im Kopf habe - also: Wo ist mein Denkfehler? (Die Begriffe benutze ich wirklich mehr als selten, vielleicht denke ich gerade mal wieder zu endlichdimensional - dann korrigiere mich bitte!)
> f'(a)=0
> ist bereits eingegangen, nämlich an der Stelle, dass [mm]\Vert f'(x) \Vert \leq 1/2[/mm]
> für alle [mm]x \in X[/mm] ist, d.h. hier wurde die Stetigkeit
> benutzt.
Natürlich folgt das daraus. Aber die Forderung $f'(a)=0$ ist doch nicht notwendig dafür, sondern nur hinreichend. Ich denke schon, dass der Aufgabensteller nicht ohne Grund NICHT auf [mm] $f'(a)=0\,$ [/mm] verzichtet. Ansonsten frage ich mich, wieso man nicht einfach direkt nur [mm] $\|f'(x)\| \le [/mm] 1/2$ auf [mm] $X\,$ [/mm] fordert!
> Das mit dem Kurvenintegral erscheint mir ja schon ganz
> richtig, ich weiß bloß noch nicht, wie man es genau
> aufschreiben soll.
Das kann schon sein. Dann fehlt aber die Ableitung des Weges bei Dir!
> Nehme ich mir also nochmal meine Parametrisierung
> [mm]\phi(t)=x_1+t(x_2-x_1)[/mm]. Dann komme ich doch nie da hin, wo
> ich hin will.
Es ist dann [mm] $\phi(0)=x_1$ [/mm] und [mm] $\phi(1)=x_2$ [/mm] und [mm] $\phi:[0,1] \to [/mm] X$ mit [mm] $\phi(t)=x_1+t(x_2-x_1)$ [/mm] hat als Ableitung [mm] $\phi'(t)=x_2-x_1\,.$ [/mm] Sowas musst Du dann mitverarbeiten!
> Aber es kann nicht besonders schwer sein.
Denke ich auch!
P.S.:
Es kann durchaus sein, dass ich bei der Aussage mit der Fréchet-Diff'barkeit endlichdimensionale Vektorräume brauche - ich wollte da irgendwie die Kompaktheit der abgeschlossenen Einheitskugel benutzen. Die gilt, glaube ich, in unendlich-dim. Vektorräumen nicht notwendigerweise. Aber das müsste ich jetzt auch nachlesen (bzw. ich warte drauf, dass jemand mir das nochmal sagt ^^).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
die Sache mit der Fréchet-Diff'barkeit vergessen wir wirklich mal. Für was man bei der Aufgabe [mm] $f'(a)=0\,$ [/mm] dann braucht, sehe ich gerade auch nicht. Ich denke, man wird mit einer Parametrisierung erstmal sowas schreiben
[mm] $$\int_{x_1}^{x_2} f'(x)dx=\int_{t=0}^{t=1}f'(\phi(t))*\|\phi'(t)\|dt\,.$$
[/mm]
Nun musst Du dann nur noch abschätzen (und [mm] $f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx$ [/mm] benutzen)...
Allerdings kenne ich das so nur "für spezielle normierte Vektorräume". Ist das wirklich alles, was man an [mm] $V\,$ [/mm] hier voraussetzt: [mm] $V\,$ [/mm] sei normierter VR?
P.S.:
Mal andersrum gefragt: Wie ist bei Euch [mm] $\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx$ [/mm] für Funktionen $f: V [mm] \to V\,,$ $V\,$ [/mm] normierter VR eigentlich definiert?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Di 21.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V[/mm] ein normierter Vektorraum, D [mm]\subseteq[/mm] V offen.
> Bezeichne [mm]X:=\{x \in D: \vert x-a \vert \leq \delta\}[/mm] für
> ein [mm]\delta[/mm] >0 und sei f:D [mm]\to[/mm] V eine stetig diffbare
> Abbildung mit f'(a)=0.
> Folgern sie aus [mm]$\vert f'(x)\vert \leq \frac{1}{2}$[/mm] für
> [mm]$x_1,x_2 \in[/mm] X$ die Eigenschaft [mm]$\vert f(x_1)-f(x_2)\vert \leq \frac{1}{2} \vert x_1-x_2\vert.[/mm]
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> Hallo,
>
> in einem vorliegenden Beweis wird das über den
> Fundamentalsatz der Analysis gemacht, d.h. ist f:[a,b] [mm]\to[/mm]
> V eine stetig diffbare Funktion, dann gilt
> [mm]\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)[/mm] und dabei wird dieser auch
> nur zitiert und gesagt, dass es damit sofort folgt.
> Nun sind doch bei mir das [mm]x_1[/mm] und das [mm]x_2[/mm] aber Vektoren
> und keine reelle Zahlen, also kann ich schlecht die
> vorgegebene Ungleichung einfach von [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_2[/mm]
> integrieren, oder?
>
> Weiß jemand, wie das gemeint ist?
Schau Dir mal im Buch "Funktionalanalysis" von H.Heuser den § 175 an.
Da findest Dz alles zu "Differentiation" , "vektorwertigen Wegintegralen", "Verallg. des Mittelwertsatzes", ...
Allerdings glaube ich, dass man obigen normierten Raum V als vollständig voraussetzen muß, um die Existenz vektorwertiger Wegintegrale zu sichern
FRED
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