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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie ein Lösungs-Fundamentalsystem der Differentialgleichung
[mm] y'=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1}y [/mm] |
Ich habe jetzt die Eigenwerte versucht zu bestimmen:
[mm] det(A-\lambda*I) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \lambda_{1,2}=\pm [/mm] 0 und [mm] \lambda_{3}= [/mm] 3
Und jetzt hab ich nämlich ein Problem bei der Berechnung der Eigenvektoren. Berechne ich diese jeweils so:
(A- [mm] \lambda_{1}*I) [/mm] x = 0
(A- [mm] \lambda_{2}*I) [/mm] x = 0
(A- [mm] \lambda_{3}*I) [/mm] x = 0
oder muss ich es folgender berechnen:
[mm] (A-\lambda_{1}*I) [/mm] x = 0 [mm] \Rightarrow v_{1}
[/mm]
[mm] (A-\lambda_{2}*I) [/mm] x = [mm] v_{1} \Rightarrow v_{2}
[/mm]
[mm] (A-\lambda_{3}*I) [/mm] x = [mm] v_{2}
[/mm]
Weiß jemand weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Joan2,
> Bestimmen Sie ein Lösungs-Fundamentalsystem der
> Differentialgleichung
> [mm]y'=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1}y[/mm]
> Ich habe
> jetzt die Eigenwerte versucht zu bestimmen:
> [mm]det(A-\lambda*I)[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \lambda_{1,2}=\pm[/mm] 0 und
> [mm]\lambda_{3}=[/mm] 3
>
> Und jetzt hab ich nämlich ein Problem bei der Berechnung
> der Eigenvektoren. Berechne ich diese jeweils so:
> (A- [mm]\lambda_{1}*I)[/mm] x = 0
> (A- [mm]\lambda_{2}*I)[/mm] x = 0
> (A- [mm]\lambda_{3}*I)[/mm] x = 0
Hier gibt es nur eine Gleichung mit 3 Variablen.
Somit ist der Lösungsraum zum Eigenwert 0 2-dimensional,
gibt es auch 2 Eigenvektoren zum Eigenwert 0.
Für den Eigenwert 3 ergibt sich der Eigenvektor aus dem entsprechenden Gleichungssystem.
>
> oder muss ich es folgender berechnen:
> [mm](A-\lambda_{1}*I)[/mm] x = 0 [mm]\Rightarrow v_{1}[/mm]
>
> [mm](A-\lambda_{2}*I)[/mm] x = [mm]v_{1} \Rightarrow v_{2}[/mm]
>
> [mm](A-\lambda_{3}*I)[/mm] x = [mm]v_{2}[/mm]
>
> Weiß jemand weiter?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Danke für erstmal die schnelle Hilfe.
D.h. ich errechne die Eigenvektoren mit [mm] (A-\lambda*I)*x [/mm] = 0.
Bei [mm] \lambda [/mm] = 3 muss ich dann nur einsetzen und ausrechnen. Aber bei [mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm0 [/mm] ? Ich hab irgendwie nicht ganz verstanden was du meinst.
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Hallo Joan2,
> Danke für erstmal die schnelle Hilfe.
> D.h. ich errechne die Eigenvektoren mit [mm](A-\lambda*I)*x[/mm] =
> 0.
> Bei [mm]\lambda[/mm] = 3 muss ich dann nur einsetzen und
> ausrechnen. Aber bei [mm]\lambda[/mm] = [mm]\pm0[/mm] ? Ich hab irgendwie
> nicht ganz verstanden was du meinst.
Ja, bei [mm]\lambda=3[/mm] musst Du nur einsetzen und ausrechnen.
Bei [mm]\lambda=0[/mm] haben wir nur eine Gleichung, aber eben 3 Variablen.
Löse daher wie folgt auf:
[mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \Rightarrow x_{1}= \ \dots [/mm]
Somit gibt es eine Parameterlösung in der Art:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=s*\pmat{\dots \\ \dots \\ \dots}+t*\pmat{\dots \\ \dots \\ \dots}=s*ev_{1}+t*ev_{2}[/mm]
,wobei [mm]ev_{1}, \ ev_{2}[/mm] den Lösungsraum aufspannen.
Diese Vektoren [mm]ev_{1}, \ ev_{2}[/mm] sind zugleich die
Eigenvektoren zum Eigenwert 0.
Ich hoffe, daß das jetzt ein bischen klarer geworden ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Irgendwie noch nicht ganz :(
Ist es nicht so, dass das System unterbestimmt ist, sodass ich dann zum Beispiel [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] beliebig wählen kann? Dann wären die zum Beispiel gleich 1 woraus dann folgt, dass [mm] x_{1} [/mm] = -2 wäre. Dann hätte ich doch den Eigenvektor
[mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Oder??
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Hallo Joan2,
> Irgendwie noch nicht ganz :(
> Ist es nicht so, dass das System unterbestimmt ist, sodass
> ich dann zum Beispiel [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] beliebig wählen
> kann? Dann wären die zum Beispiel gleich 1 woraus dann
> folgt, dass [mm]x_{1}[/mm] = -2 wäre. Dann hätte ich doch den
> Eigenvektor
> [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Im Prinzip ja. Nun mußt Du noch einen zweiten, dazu linear unabhängigen Eigenvektor bestimmen.
>
> Oder??
Besser man macht das so:
[mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow x_{1}=-x_{2}-x_{3}[/mm]
Da [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] frei gewählt werden können,
ergibt sich die Lösung zu:
[mm]x_{1}=-s-t[/mm]
[mm]x_{2}=s[/mm]
[mm]x_{3}=t[/mm]
Oder anders geschrieben:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=s*\pmat{-1 \\ 1 \\ 0}+t*\pmat{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Somit haben wir zwei Vektoren gefunden:
[mm]\pmat{-1 \\ 1 \\ 0}, \ \pmat{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Jetzt habe ich es verstanden ^^ Hab vielen, vielen Dank
Liebe Grüße
Joan
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