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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Do 07.02.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Betrachte die Folgende funktion:
a) [mm] f:\IR\to\IR, f(x)=e^{\wurzel{1+sinx}}-e
[/mm]
Bestimme das Taylorpolynom 2. Grades von f im Punkt x=0
b) g: [mm] (-\bruch{\pi}{4},\bruch{pi}{4})\to\IR, g(x)=\begin{cases} \bruch{f(x)}{x}, x\not=0, \\ \bruch{e}{2}, x=0 \end{cases}
[/mm]
Zeige, dass g in x=0 stetig ist. |
Bei a komm ich kein Stück weiter, da kann ich leider keinen Ansatz geben, aber bei b frage ich mich, o es nicht genügt zu behaupten, dass [mm] \bruch{e}{2} [/mm] ein konstante Fkt. und damit stetig ist.
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a)
Taylor-Reihen werden so gebildet:
f(x) = [mm] f(a)*\bruch{x^{0}}{0!} [/mm] + [mm] f'(a)\bruch{x^1}{1!} [/mm] + [mm] f''(a)\bruch{x^2}{2!}+...
[/mm]
Zweite Ordnung heißt, du musst nur bis
f(x) = [mm] f(a)*\bruch{x^{0}}{0!} [/mm] + [mm] f'(a)'\bruch{x^1}{1!}
[/mm]
= f(a) + f'(a)*x
entwickeln.
Praktisch setzt du also zuerst die 0 in die Funktion ein. Das ist dein erster Summand. Danach leitest du f ab und setzt nochmals 0 ein. Das Ergebnis multipliziert mit x ist dein zweiter Summand.
f(0) = exp(sqrt(1+sin(0))) - e = exp(sqrt(1+0)) = exp(1) = 0.
Ableiten mit Kettenregel:
f'(x) = exp(sqrt(1+sin(x)))'
= exp(sqrt(1+sin(x))) * sqrt(1+sin(x))'
= exp(sqrt(1+sin(x))) * [mm] \bruch{1}{2*sqrt(1+sin(x))} [/mm] * (1+sin(x))'
= exp(sqrt(1+sin(x))) * [mm] \bruch{1}{2*sqrt(1+sin(x))} [/mm] * cos(x)
und nun f'(0) berechnen:
f'(0) = [mm] \underbrace{exp(sqrt(1+sin(0)))}_{e} [/mm] * [mm] \underbrace{\bruch{1}{2*sqrt(1+sin(0))}}_{\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] \underbrace{cos(0)}_{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{e}{2}.
[/mm]
Die gesamte Approximation zweiter Ordnung lautet also:
f(x) = f(0) + f'(0)*x
= 0 + [mm] \bruch{1}{2}e*x.
[/mm]
b)
Dass [mm] \bruch{e}{2} [/mm] stetig ist, bringt dich hier sehr wenig weiter.
Stetig heißt, wie du sicher weisst, dass man die Funktion "durchzeichnen" kann. Die beiden Teil-Funktionswerte von g müssten also an der kritischen Stelle x = 0 übereinstimmen.
Man kann die Stetigkeit von g an einer beliebigen Stelle a zeigen mit
[mm] \limes_{x\rightarrow a}g(x) [/mm] = g(a).
Die rechte Seite wäre hier ja g(0) = [mm] \bruch{e}{2} [/mm] (Siehe Funktionsterm, Fall x = 0). Du musst also nun zeigen, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}g(x) [/mm] = [mm] \bruch{e}{2} [/mm] gilt, also dass
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{e}{2} [/mm] gilt.
Da wir ja schon oben berechnet haben, dass f an Stelle x = 0 den Funktionswert 0 annimmt und dasselbe mit x geschehen wird, haben wir einen Grenzwert der Form [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm] vorliegen, d.h. wir können
L'Hospital anwenden und können sagen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f'(x)}{x'}.
[/mm]
Da das dasselbe wie
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f'(x)
[/mm]
ist (x' = 1) und wir f'(0) schon oben berechnet haben können wir sagen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f'(x)}{x'} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f'(x) [/mm] = f'(0) = [mm] \bruch{e}{2}.
[/mm]
Setzen wir das wieder in die obige Gleichung
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{e}{2}
[/mm]
ein, erhalten wir
[mm] \bruch{e}{2} [/mm] = [mm] \bruch{e}{2}.
[/mm]
Also ist die Funktion g(x) an der Stelle x = 0 stetig.
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