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| Aufgabe | Erstellen Sie ein reellwertiges Polynom vom Grad 4 mit folgenden Nullstellen: N1(1/0), N2(-1/0), N3(2/0), N4(-2/0) und dem Funktionswert -1 für x=0 !
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Hallo, ich bin schon sehr lange aus dem Bestimmen von Funktionen raus.
Naja für Polynom kann man sicherlich auch Funktion einzusetzen um es
denn Schülern unter Euch etwas zu erleichtern.
Die Funktion die wir auf stellen wollen, sieht denke ich
so aus: $ [mm] f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e [/mm] $
und ich denke wir sollen ein gleichungssystem aufstellen.
das wird in etwa so aussehen denke ich
I $ 1a+1b+1c+1d+0=0 $
II $ 1a-1b+1c-1d+0=0 $
III $ 16a+8b+4c+2d+0=0 $
IV $ 16a-8b+4c-2d+0=0 $
so wenn das jetzt nach gauß auflöse, komme ich nicht auf das richtige ergebnis, entweder vertue ich mich andauernd oder habe einen fehler
drin,
könnte mir bitte jemand weiter helfen
Danke,
Wulfstone
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Di 12.12.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Bei so einer Aufgabe ist es am Besten sich klar zu machen, dass jedes Polynom, das auch noch Nullstellen hat so eine Darstellung hat:
K(a-x)(b-x)(c-x)(d-x)...,
wobei a, b, c, d... gerade die Nullstellen sind und K eine gewisse Konstane ist, die auch 1 sein könnte. In deiner Aufgabe hast eigentlich a, b, c und d durch die gewünschten Nullstellen zu ersetzen und K so zu wählen, dass Kabcd=-1 ist.
Gruß,
dormant
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erst einmal danke für die rasche antwort,
so
also wie ich dich verstanden habe kann ich K auch 1 setzen,
dann habe ich wenn ich alles einsetze
1(1-x)(-1-x)(2-x)(-2-x)=-1
wenn ich das nun ausmultipliziere bleibt
[mm] 4-8x^{2}+x^{4} [/mm] = -1
über.
wenn ich dann die eins rüber hole, also auf beiden seiten plus 1
dann steht da $ [mm] x^{4}-8x^{2}+5 [/mm] $
wenn ich jetzt für x 1 einsetze bekomme ich nicht null raus.
also ist die funktion falsch,
benötige dringend hilfe, danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo wulfstone!
Dieses $K_$ kannst Du nicht einfach frei wählen, sondern musst es bestimmen aus der Vorgabe $f(0) \ = \ -1$ .
$f(0) \ =\ K*(1-0)*(-1-0)*(2-0)*(-2-0) \ = \ K*1*(-1)*2*(-2) \ = \ 4*K \ = \ -1$
Gruß
Loddar
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Danke für die Antwort, aber
ich weiß nicht wie ich dann von K auf die funktion schließen soll,
oder wie ich allgemein von diesem ausgangspunkt auf die funktion schließen soll?
soll ich das so machen wie ich es erst versucht habe?
also
K(1-x)(-1-x)(2-x)(-2-x)
nur diesmal K=-1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mi 13.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Danke für die Antwort, aber
> ich weiß nicht wie ich dann von K auf die funktion
> schließen soll,
> oder wie ich allgemein von diesem ausgangspunkt auf die
> funktion schließen soll?
>
> soll ich das so machen wie ich es erst versucht habe?
> also
>
> K(1-x)(-1-x)(2-x)(-2-x)
ja, Nur weiss ich nicht, warum du das so eigenartig machst, normalerweise schreibt man (x-x1)*x-x2)... mit xi die Nullstellen.
also f(x)=K*(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
(übrigens, bei deinem 1. Gleichungssystem, was ja nicht falsch war hast du e=0 statt e=-1 aus (0,-1)benutzt, dadurch konntest du nicht auf das richtige Ergebnis kommen.)
Gruss leduart
> nur diesmal K=-1?
>
>
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also ich habe f(x)=K(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
ja
so
K=-1
oder?
so
dann bekomme ich bei meinen berechnungen [mm] f(x)=-x^{4}+5x^{2}-4.
[/mm]
da kann aber nicht stimmen, da f(0)=-1 sein soll bzw. hier f(0)=-4
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:30 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Dr.Sway |
Hi
Also ich seh da noch ein 5. Gleichungssystem
e=-1
da du den y-achsenabschnitt gegeben hast P(0/-1)
und dann ersetzte noch e durch -1 und dann mit dem Gaus aufflösen.
denke das ist einfacher als die mit dem K
mfg Sabrina
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Danke,
ich weiß das ich das mit LGS lösen kann, aber mit
K ist doch viel effizienter, könnte mir da jemand noch einmal eine Lösung geben, bzw, meinen ansatz unten verbessern!
also ich habe f(x)=K(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
ja
so
K=-1
oder?
so
dann bekomme ich bei meinen berechnungen $ [mm] f(x)=-x^{4}+5x^{2}-4. [/mm] $
da kann aber nicht stimmen, da f(0)=-1 sein soll bzw. hier f(0)=-4
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo wulfstone!
Siehe mal oben in meiner Antwort ...
Was steht denn da ganz am Ende der Rechnezeile für $f(0)_$ ? . . . . $4*K \ = \ -1$
Wie groß ist also $K_$ ?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Mi 13.12.2006 | | Autor: | wulfstone |
ach -1/4
na sag das doch gleich!
man bin ich blöd, sorry
für eure verschwendete zeit
danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo wulfstone!
Wenn Du es nun verstanden hast, war es definitiv keine verschwendete Zeit. Dafür ist ja dieses Forum genau da ...
Gruß
Loddar
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