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Forum "Differenzialrechnung" - Funktion linearisieren
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Funktion linearisieren: Rückfrage. Idee, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 So 20.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo,

ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen könnt :)

Ich habe folgende Funktion:

R(T) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm]

Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es dann richtig, wenn ich schreibe:

R_lin(T,To) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] + Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] * (T-To)

Vielen Dank für eure Hilfe :)

        
Bezug
Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 So 20.09.2015
Autor: MathePower

Hallo Dom_89,

> Hallo,
>  
> ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen
> könnt :)
>  
> Ich habe folgende Funktion:
>  
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>  
> Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es
> dann richtig, wenn ich schreibe:
>  
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm] * (T-To)
>  

Das soll ja eine lineare Funktion werden.
Demnach müssen die blau markierten Ausdrücke konstant sein:

[mm]R_{lin}(T,To) = \blue{Ro * exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}} + \blue{Ro * exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}}* (T-To)[/mm]

Die Ableitung der Funktion, das ist der Teil vor [mm]T-T_{0}[/mm],
stimmt nicht.


> Vielen Dank für eure Hilfe :)


Gruss
MathePower

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Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Mo 21.09.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen
> könnt :)
>  
> Ich habe folgende Funktion:
>  
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>  
> Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es
> dann richtig, wenn ich schreibe:
>  
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm] * (T-To)



Das stimmt hinten und vorne nicht !

Sei I ein Intervall in [mm] \IR, [/mm]  f:I [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und f sei in [mm] x_0 \in [/mm] I differenzierbar. Dann lautet die Linearisierung von f in [mm] x_0 [/mm] so:

   [mm] y(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). [/mm]

Das ist gerade die Gleichung der Tangente von f im Punkt [mm] (x_0,f(x_0). [/mm]

Jetzt zu Deiner Funktion



$R(T) = [mm] R_0 [/mm] * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{T_0}))} [/mm] $

Hier ist [mm] x_0=T_0 [/mm] und damit

     [mm] R(x_0)=R(T_0)=R_0 [/mm] ,

      $R'(T)= [mm] R_0 [/mm] * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{T_0}))}*(-\bruch{B}{T^2}),$ [/mm]

also

    [mm] $R'(x_0) =R'(T_0)=-\bruch{R_0 B}{T_0^2}.$ [/mm]

Die Gleichung der fraglichen Tangente ist also

   [mm] y(T)=-\bruch{R_0 B}{T_0^2}(T-T_0)+R_0. [/mm]


FRED

>  
> Vielen Dank für eure Hilfe :)


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Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mo 21.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo zusammen,

ich bin nun nach einiger Überlegung zu folgenden Ergebnis gekommen:

R(T) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm]


R_lin(T,To) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] + Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To})*(-\bruch{B}{To^{2}})} [/mm] * (T-To)

Ist dies so richtig ? Falls ja, kann ich hier ggf. noch weiter kürzen ?

Gruß

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Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mo 21.09.2015
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> ich bin nun nach einiger Überlegung zu folgenden Ergebnis
> gekommen:
>  
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>  
>
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To})*(-\bruch{B}{To^{2}})}[/mm]
> * (T-To)
>  
> Ist dies so richtig ?

NEIN, HAST DU MEINE ANTWORT IN DIE MÜLLTONNE GETRETEN ?

Fred





Falls ja, kann ich hier ggf. noch

> weiter kürzen ?
>  
> Gruß


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Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mo 21.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo Fred,

leider habe ich deine vorangegangenen Antwort vorhin nicht richtig lesen können.

Bedeutet das nun, dass die Funktion y (T) , die du zu letzt geschrieben hast , nun bereits die linearisisierte Funktion ist, oder muss ich da noch etwas ergänzen?

Danke und Gruss

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Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mo 21.09.2015
Autor: schachuzipus

Hallo Dom,

> Hallo Fred,

>

> leider habe ich deine vorangegangenen Antwort vorhin nicht
> richtig lesen können.

>

> Bedeutet das nun, dass die Funktion y (T) , die du zu letzt
> geschrieben hast , nun bereits die linearisisierte Funktion
> ist,

Ja

> oder muss ich da noch etwas ergänzen?


Nö, ich wüsste nicht, was ... Fred hat es doch ausführlich vorgemacht.

> Danke und Gruss

Gruß

schachuzipus

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Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Di 22.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo,

zuerst einmal vielen Dank für eure bisherige Hilfe :)

Ich möchte nun einmal folgende Werte in die Ausgangsfunktion und in die linearisierte Funktion einsetzten:

Ro = 20000 [mm] \Omega [/mm] ; B = 3000 K ; To = 273,15 K ; T = 373,15 K


R(373,15 K) = R(T) = 20000 [mm] \Omega [/mm] * [mm] exp^{(3000 K(\bruch{1}{373,15 K } - \bruch{1}{273,15 K}))} [/mm]

R(373,15 K) = 1053,82 [mm] \Omega [/mm]


[mm] R_{lin}(373,15 K)=-\bruch{20000 \Omega * 3000 K}{(273,15 K)^2}(373,15 [/mm] K-273,15 K)+ 20000 [mm] \Omega [/mm]

[mm] R_{lin}(373,15 [/mm] K) = - 60417,18 [mm] \Omega [/mm]

Dies kann meiner Meinung ja aber nicht so stimmen (die Werte sollten ziemlich nahe beieinander liegen)!

Was mache ich hier falsch ?

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Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Di 22.09.2015
Autor: chrisno

Der Fehler liegt im Ansatz.
Du linearisierst bei [mm] $T_0 [/mm] = 273,15$K. Dann Sollten für Werte wie $T = 273,16$K gute Näherungen entstehen. Aber doch nicht für einen Temperaturunterschied von 100 K!



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Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Mi 23.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!

Könntest du mir einmal ein venünftiges Zahlenbeispiel, wo dann für beide Gleichungen venünftige Werte raus kommen, nennen?

Vielen Dank

Gruß

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Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Mi 23.09.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank für die Antwort!
>  
> Könntest du mir einmal ein venünftiges Zahlenbeispiel, wo
> dann für beide Gleichungen venünftige Werte raus kommen,
> nennen?

chrisno hats doch gesagt: nimm mal T = 273,16K


Die Linearisierung in [mm] T_0 [/mm]  approximiert die Funktion in der "Nähe" von [mm] T_0 [/mm] !


FRED

>  
> Vielen Dank
>  
> Gruß


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