Funktion skizzieren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Do 14.06.2012 | | Autor: | Yuber21 |
| Aufgabe | Skizzieren Sie folgende Funktion: [mm] x^2+y^2\le z^2 [/mm]
[mm] 1\le z\le [/mm] 2 und berechnen Sie das Volumen. |
Guten Tag,
meine Frage ist wie ich diese Fkt skizzieren kann. Ich habe als Radius r=z ausgerechnet also hat die Funktion die Radien von 1 bis 2. Aber welche x und y-Werte hat diese? Da weiß ich leider nicht, wie ich diese herausfinde.
Zum Volumen: ich würde Zylinderkoordinaten verwenden und r von 1 bis 2 integrieren, mein dphi von 0 bis 2Pi und mein dz von 1 bis 2. Aber ist es wirklich so, dass die Länge und auch die Radien von 1 bis 2 reichen?
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Hallo Yuber21,
> Skizzieren Sie folgende Funktion: [mm]x^2+y^2\le z^2[/mm]
>
> [mm]1\le z\le[/mm] 2 und berechnen Sie das Volumen.
>
> Guten Tag,
> meine Frage ist wie ich diese Fkt skizzieren kann. Ich
> habe als Radius r=z ausgerechnet also hat die Funktion die
> Radien von 1 bis 2. Aber welche x und y-Werte hat diese? Da
> weiß ich leider nicht, wie ich diese herausfinde.
Das sind Kreise mit Mittelpunkt (0,0,z) und Radius z.
> Zum Volumen: ich würde Zylinderkoordinaten verwenden und
> r von 1 bis 2 integrieren, mein dphi von 0 bis 2Pi und mein
> dz von 1 bis 2. Aber ist es wirklich so, dass die Länge
> und auch die Radien von 1 bis 2 reichen?
>
Nein, der Radius läuft von 0 bis z.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Do 14.06.2012 | | Autor: | Yuber21 |
Kann ich dann Zylinderkoordinaten verwenden für die Volumenberechnung? Ich würde von 1 bis 2, 0 bis 2Pi, 0 bis z dann r dz dphi dr integrieren, wäre dieser Ansatz korrekt?
Leider kann ich mir die Zeichnung immer noch nicht vorstellen. Es sind 2 Kreise, einmal bei z=1 und z=2, oder? Falls die z-Achse nun nach oben zeigt könnte ich die Kreise demnach bei diesen Werten einzeichnen. Die y-Achse verläuft dann ins Innere und die x-Achse ganz normal rechts, aber welchen Abstand müsste ich dann bei der x-Achse als Radien haben? Auch doch 1 und 2? Tut mir leid, ich bin da nicht so bewandert.
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Hallo Yuber21,
> Kann ich dann Zylinderkoordinaten verwenden für die
> Volumenberechnung? Ich würde von 1 bis 2, 0 bis 2Pi, 0 bis
> z dann r dz dphi dr integrieren, wäre dieser Ansatz
> korrekt?
Ja, dieser Ansatz ist korrekt.
> Leider kann ich mir die Zeichnung immer noch nicht
> vorstellen. Es sind 2 Kreise, einmal bei z=1 und z=2, oder?
> Falls die z-Achse nun nach oben zeigt könnte ich die
> Kreise demnach bei diesen Werten einzeichnen. Die y-Achse
> verläuft dann ins Innere und die x-Achse ganz normal
> rechts, aber welchen Abstand müsste ich dann bei der
> x-Achse als Radien haben? Auch doch 1 und 2? Tut mir leid,
> ich bin da nicht so bewandert.
So sieht's aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss
MathePower
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Do 14.06.2012 | | Autor: | Yuber21 |
Vielen Dank.
Als Volumen habe ich 3Piz errechnet. Darf das Volumen von z überhaupt abhängig sein?
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Hallo Yuber21,
> Vielen Dank.
> Als Volumen habe ich 3Piz errechnet. Darf das Volumen von
Poste dazu Deine Rechenschritte.
> z überhaupt abhängig sein?
Nein, das Volumen ist eine reine Zahl.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 14.06.2012 | | Autor: | Yuber21 |
[mm] \integral_{0}^{z} \integral_{0}^{2pi} \integral_{1}^{2} [/mm] r dr dphi dz = 2Pi*z [1/2 [mm] r^2]1 [/mm] bis 2 = 2Pi z (2-1/2) = 3Pi z .. natürlich könnt ich nun für die Grenzen von Z 1 bis 2 einsetzen, sodass ich 6Pi-3Pi erhalten würde und als Endlösung 3Pi?
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Hallo Yuber21,
> [mm]\integral_{0}^{z} \integral_{0}^{2pi} \integral_{1}^{2}[/mm] r
> dr dphi dz = 2Pi*z [1/2 [mm]r^2]1[/mm] bis 2 = 2Pi z (2-1/2) = 3Pi z
Die Reihenfolge der Integrale stimmt nicht.
Zuletzt muss über feste Grenzen integriert werden:
[mm]\integral_{1}^{2} \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{z} r \ dr \ d\phi \ dz[/mm]
> .. natürlich könnt ich nun für die Grenzen von Z 1 bis 2
> einsetzen, sodass ich 6Pi-3Pi erhalten würde und als
> Endlösung 3Pi?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Do 14.06.2012 | | Autor: | Yuber21 |
Nun habe ich:
2Pi [mm] (z^2/2 [/mm] -0) = [mm] (4Piz^2)/2 [/mm] raus.
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Hallo Yuber21,
> Nun habe ich:
> 2Pi [mm](z^2/2[/mm] -0) = [mm](4Piz^2)/2[/mm] raus.
Rechne das Schritt für Schritt vor.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 14.06.2012 | | Autor: | Yuber21 |
[mm] \integral_{1}^{2} \integral_{0}^{2Pi} \integral_{0}^{z} [/mm] r dr dphi dz = [mm] \integral_{1}^{2} \integral_{0}^{2Pi} [/mm] 1 dphi dz [mm] [1/2*r^2] [/mm] von 0 bis z = [mm] 2Pi(z^2/2-0)
[/mm]
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Hallo Yuber21,
> [mm]\integral_{1}^{2} \integral_{0}^{2Pi} \integral_{0}^{z}[/mm] r
> dr dphi dz = [mm]\integral_{1}^{2} \integral_{0}^{2Pi}[/mm] 1 dphi
> dz [mm][1/2*r^2][/mm] von 0 bis z = [mm]2Pi(z^2/2-0)[/mm]
Jetzt musst Du noch über z von 1 bis 2 integrieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 14.06.2012 | | Autor: | Yuber21 |
Dieser Schritt ist mir nicht klar. Wieso muss ich das Endergebnis eines Dreifachintegrals, was ja mein Volumen angibt, erneut integrieren? Wieso durfte ich nicht gleich zu Beginn nicht von 0 bis z, sondern von 1 bis 2 mein dz integrieren?
Jedenfalls bekomme ich nun 2Pi [mm] \integral_{1}^{2}z^2/2 [/mm] = 2Pi [mm] [z^3/6]von [/mm] 1 bis 2= 10/6Pi
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Hallo Yuber21,
> Dieser Schritt ist mir nicht klar. Wieso muss ich das
> Endergebnis eines Dreifachintegrals, was ja mein Volumen
Zunächst hast Du erst ein Doppelintegral gelöst.
> angibt, erneut integrieren? Wieso durfte ich nicht gleich
> zu Beginn nicht von 0 bis z, sondern von 1 bis 2 mein dz
> integrieren?
Weil man zuletzt über feste Grenzen integriert.
> Jedenfalls bekomme ich nun 2Pi [mm]\integral_{1}^{2}z^2/2[/mm] =
> 2Pi [mm][z^3/6]von[/mm] 1 bis 2= 10/6Pi
Werte das Resultat des Integrals nochmal aus.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 14.06.2012 | | Autor: | Yuber21 |
Aber ich habe doch von 0 bis z integriert, was doch im Endeffekt auch ein Integral ist?
Mein Ergebnis ist 14/6 Pi natürlich.
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Hallo Yuber21,
> Aber ich habe doch von 0 bis z integriert, was doch im
> Endeffekt auch ein Integral ist?
> Mein Ergebnis ist 14/6 Pi natürlich.
Das Ergebnis stimmt aber nicht.
Gruss
MathePower
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> Skizzieren Sie folgende Funktion: [mm]x^2+y^2\le z^2[/mm]
>
> [mm]1\le z\le[/mm] 2 und berechnen Sie das Volumen.
Hallo Yuber21
Wurde die Aufgabe so (in diesem Wortlaut) gestellt ?
Falls ja, würde ich dem Aufgabensteller Inkompetenz zuschreiben.
Die gegebene Ungleichung stellt nämlich keineswegs
irgendeine Funktion dar, sondern eine Teilmenge des
Raumes [mm] \IR^3, [/mm] welche man geometrisch interpretieren
kann.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 14.06.2012 | | Autor: | Yuber21 |
Als Zusatz stand "Kegelstumpf". Ich weiß nicht, aber sonst war es genauso gestellt.
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> Als Zusatz stand "Kegelstumpf". Ich weiß nicht, aber sonst
> war es genauso gestellt.
Ja, wenn zur Ungleichung [mm] x^2+y^2\le{z^2} [/mm] noch die weiteren
Ungleichungen [mm] 1\le{z} [/mm] und [mm] z\le2 [/mm] dazukommen, so ist das
durch alle 3 Ungleichungen zusammen beschriebene Raum-
gebiet ein Kegelstumpf.
Den Hinweis, dass die Ungleichung [mm] x^2+y^2\le{z^2} [/mm] keine
Funktion darstellt, solltest du aber weiterleiten ...
LG Al-Chw.
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