Funktion und Funktionswert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Di 26.01.2016 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Sei f(x,y,z) eine stetige Funktion.
Betrachten Sie die folgenden drei Aussagen:
1. die lineare Approximation von f ist auch eine Funktion von 3 Variablen
2. ein Differential von f bezeichnet einen approximierten Zuwachs im Wert von f, wenn x,y und z sich verändern.
3. wenn dz > 0 und df=0, dann ist entweder dx [mm] \not= [/mm] 0 oder dy [mm] \not= [/mm] 0 oder beide dx und dy sind nicht gleich Null.
Welche sind richtig. |
Hallo,
Bei dieser Frage würde ich gerne wissen, ob ich richtig liege.
Ich würde sagen, nur Aussage 1 und 2 sind richtig.
Denn 1 und 2 ergeben sich aus der Definition von der linearen Approximation und dem Differential.
Zu 3:
Wenn das z den Funktionswert ändern kann, stimmt die Aussage, z.B. bei f(x,y,z) = x + y + z
Nehmen wir aber stattdessen die Funktion f(x,y,z) = x + y + z*ln(x-y) , dann spielt z bei x=y keine Rolle. In dem Fall gilt df=0 für alle z, falls x=y konstant bleibt.
Könnte ich auch einfach die Funktion f(x,y,z) = x+y+z*ln(1) nehmen? Hier würde z nie eine Rolle spielen, aber dann könnte man doch gleich eine Funktion f(x,y) hinschreiben? Kann man aber trotzdem auch mit diesem Beispiel argumentieren?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mi 27.01.2016 | | Autor: | huddel |
Hallo Mathics :)
1. und 2. passen auch wenn 2. ein wenig salopp formuliert ist und man da auch Fehler reininterpretieren könnte.
zu 3.: Mir ist nicht ganz klar, was mit $dx, dy$ und $dz$ gemeint ist. bei $df$ gehe ich mal davon aus, dass du das Differential von $f$ meinst. Sind das die partiellen Ableitungen? Und $>0$ heißt, dass die Ableitung für alle Werte von [mm] $(x,y,z)\in \mathbb{R}^3$ [/mm] größer $0$ ist, oder kannst du dir irgendwelche $x,y$-Werte Aussuchen und nur die $z$-Komponente betrachten, was du scheinbar tust?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 27.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Hallo huddel,
> zu 3.: Mir ist nicht ganz klar, was mit [mm]dx, dy[/mm] und [mm]dz[/mm]
> gemeint ist. bei [mm]df[/mm] gehe ich mal davon aus, dass du das
> Differential von [mm]f[/mm] meinst. Sind das die partiellen
> Ableitungen?
Hier geht es grundsätzlich um die lineare Approximation.
Die ist ja definiert als:
f(x + dx, y+dy, z+dz) [mm] \approx [/mm] f(x,y,z) + [mm] f_{x} [/mm] * (x + dx - x) + [mm] f_{y} [/mm] * (y + dy - y) + [mm] f_{z} [/mm] * (z + dz - z).
dx ist das Differential von x, also die Änderung in x. Wenn vorher [mm] x_{alt} [/mm] = 1 und dies sich um dx=0,1 ändert, dann ist [mm] x_{neu}= [/mm] 1,1.
> Und [mm]>0[/mm] heißt, dass die Ableitung für alle
> Werte von [mm](x,y,z)\in \mathbb{R}^3[/mm] größer [mm]0[/mm] ist, oder
> kannst du dir irgendwelche [mm]x,y[/mm]-Werte Aussuchen und nur die
> [mm]z[/mm]-Komponente betrachten, was du scheinbar tust?
dz > 0 heißt, dass es eine positive Änderung in z gibt, also z.B. dz=0,1 , sodass z von 1 auf 1,1 steigt. Ich kann mir hier beliebige Werte aussuchen.
Behauptet wird hier, dass eine positive Änderung in z durch eine Änderung in x und/oder y kompensiert werden muss, damit df=0, der Funktionswert sich also nicht verändert.
Ich habe jetzt ein Gegenbeispiel geliefert und gesagt:
f(x,y,z) = x + y + z*ln(x-y)
Wenn x-y = 1 , dann kann sich z noch so viel ändern, df=0 gilt mit dx=0 und dy=0.
Ich wollte jetzt wissen, ob das richtig ist? Und ob ich auch einfach das Beispiel f(x,y,z) = x+y+z*ln(1) nehmen könnte, also ohne zusätzliche Anforderungen für x und y. Aber dann würde ja z nie eine Rolle spielen, da ln(1) = 0 und man könnte doch genauso gut f(x,y) schreiben. Deshalb wollte ich noch fragen, ob das Beispiel dennoch legitim ist?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Do 28.01.2016 | | Autor: | huddel |
Hallo Mathics,
ich weiß jetzt zwar nicht genau, wie die [mm] $f_x,f_y,f_z$ [/mm] definiert sind, aber ich denke mal, das sind die Änderungsraten in die entsprechenden Richtungen.
Damit würde dein Beispiel dann auch passen und du kannst in der Tat sogar das Beispiel $f(x,y,z)=x+y+zln(1)$ betrachten. Oder am besten gleich $f(x,y,z)=x+y+c$ mit [mm] $c\in \mathbb{R}$ [/mm] (e.g. $c=0$) irgend einer Konstante. Damit gilt für $dx=dy=0$ und $dz>0$ dass $df = 0 $ ist und du hast dein Gegenbeispiel. Also das passt alles :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Mi 27.01.2016 | | Autor: | huddel |
Edit: Habe die Aufgabe Falsch verstanden/Fehlinterpretiert, damit ist diese Mitteilung Quark
PS.: zu beachten ist auch, dass Stetig nicht Differenzierbar impliziert, also Vorsicht, theoretisch ist keine der Aussagen wirklich richtig, da nichts davon existieren muss.
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