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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Funktion zweier reell. Veränd.
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Funktion zweier reell. Veränd.: Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Mi 04.07.2012
Autor: herbi_m

Aufgabe
f(x,y) = [mm] \wurzel{y/tan x} [/mm]
Man bilde [mm] \delta f/\delta [/mm] x und [mm] \delta^2 [/mm] f/ [mm] \delta x\delta [/mm] y



Hallo zusammen!
Ich habe das leider mit den Ableitung von Funktionen mit zwei Variablen noch nicht so verstanden!
Für die 1. Ableitung nach x muss ich ja das y konstant lassen, gleichzeitig habe ich eine innere und eine äußere Funktion, die ich ableiten muss.
Ich habe da jetzt mal etwas versucht, weiß aber überhaupt nicht, ob das so geht...
Als erstes habe ich die innere Funktion abgeleitet:
Da habe ich -y [mm] -y/tan^2 [/mm] (x) raus!
Die äußere Wunktion ergibt 1/2 [mm] \wurzel{y/tan x} [/mm]
Dann multipliziere ich innere und äußere ABleitung 1/2 [mm] \wurzel{y/tan x} [/mm] * -y [mm] -y/tan^2 [/mm] (x)
Bei der gemischten Ableitung weiß ich überhaupt nicht, was ich machen soll...
Kann mir jemand helfen?!
lg herbi!

        
Bezug
Funktion zweier reell. Veränd.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Mi 04.07.2012
Autor: ChopSuey

Hallo Herbi,


> f(x,y) = [mm]\wurzel{y/tan x}[/mm]
>  Man bilde [mm]\delta f/\delta[/mm] x und
> [mm]\delta^2[/mm] f/ [mm]\delta x\delta[/mm] y
>  
> Hallo zusammen!
> Ich habe das leider mit den Ableitung von Funktionen mit
> zwei Variablen noch nicht so verstanden!
>  Für die 1. Ableitung nach x muss ich ja das y konstant
> lassen, gleichzeitig habe ich eine innere und eine äußere
> Funktion, die ich ableiten muss.

Wie du richtig erkannt hast, heißt $ [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] $, dass du $ f $ nach $ x $ ableitest, und $ y $ wie eine Konstante behandelst. Du leitest also nach den dir aus dem $ \ [mm] \IR^1 [/mm] $ bekannten Regeln ab. Deine Kettenregel gilt also wie im Eindimensionalen.

> Ich habe da jetzt mal etwas versucht, weiß aber überhaupt
> nicht, ob das so geht...
>  Als erstes habe ich die innere Funktion abgeleitet:
>  Da habe ich -y [mm]-y/tan^2[/mm] (x) raus!
>  Die äußere Wunktion ergibt 1/2 [mm]\wurzel{y/tan x}[/mm]
> Dann multipliziere ich innere und äußere ABleitung 1/2
> [mm]\wurzel{y/tan x}[/mm] * -y [mm]-y/tan^2[/mm] (x)
>  Bei der gemischten Ableitung weiß ich überhaupt nicht,
> was ich machen soll...

$ [mm] \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y) [/mm] $ bedeutet, dass du  zunächst nach $ x $ und die Ableitung anschließend nach $ y $  (partiell) ableitest.

Gib Rückmeldung, wenn was unklar ist.
Viele Grüße
ChopSuey


Bezug
                
Bezug
Funktion zweier reell. Veränd.: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 08:41 Do 05.07.2012
Autor: Marc

Hallo ChopSuey,

> [mm]\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)[/mm] bedeutet,
> dass du  zunächst nach [mm]x[/mm] und die Ableitung anschließend
> nach [mm]y[/mm]  (partiell) ableitest.

Üblicherweise ist es andersrum definiert, was meiner Meinung nach auch Sinn macht, denn:
[mm] $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right)$ [/mm]

Also wurde zuerst nach y und dann nach x abgeleitet.

Viele Grüße
Marc

Bezug
                        
Bezug
Funktion zweier reell. Veränd.: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 10:47 Do 05.07.2012
Autor: ChopSuey

Hallo Marc,

du hast natürlich recht. Vielen Dank für den Hinweis!

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
        
Bezug
Funktion zweier reell. Veränd.: Rechenfehler?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Mi 04.07.2012
Autor: Helbig

Hallo, herbi,

> f(x,y) = [mm]\wurzel{y/tan x}[/mm]
>  Man bilde [mm]\delta f/\delta[/mm] x und
> [mm]\delta^2[/mm] f/ [mm]\delta x\delta[/mm] y
>  
>
> Hallo zusammen!
> Ich habe das leider mit den Ableitung von Funktionen mit
> zwei Variablen noch nicht so verstanden!
>  Für die 1. Ableitung nach x muss ich ja das y konstant
> lassen, gleichzeitig habe ich eine innere und eine äußere
> Funktion, die ich ableiten muss.
> Ich habe da jetzt mal etwas versucht, weiß aber überhaupt
> nicht, ob das so geht...
>  Als erstes habe ich die innere Funktion abgeleitet:
>  Da habe ich -y [mm]-y/tan^2[/mm] (x) raus!

Und ich [mm] $\frac [/mm] {-y} [mm] {\sin^2 x}$. [/mm] Nach der Quotientenregel.

>  Die äußere Wunktion ergibt 1/2 [mm]\wurzel{y/tan x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Da erhalte ich  $\frac 1 {2 \sqrt {y/\tan x}$. Aber vielleicht meinst Du dasselbe.

> Dann multipliziere ich innere und äußere ABleitung 1/2
> [mm]\wurzel{y/tan x}[/mm] * -y [mm]-y/tan^2[/mm] (x)
>  Bei der gemischten Ableitung weiß ich überhaupt nicht,
> was ich machen soll...

Zuerst nach $x$ ableiten, und diese partielle Ableitung, nach $y$ ableiten.

Gruß,
Wolfgang

Bezug
                
Bezug
Funktion zweier reell. Veränd.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:39 Do 05.07.2012
Autor: herbi_m

Vielen Dank! Werde das nochmal nachrechnen! :-)

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