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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 So 15.02.2009 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | Hallo, ich habe ein paar Fragen zu den Funktionen:
1. Die Nullstellen: Ist die Nullstelle der Punkt an dem die Kurve an der X oder Y Achse die 0 erreicht?
2. Die Extrempunkte: Wie kann ich mir das vorstellen? Ist das Max. der oberste Punkt und der Min der unterste?
3. y = 10x³-15x+4
Hier habe ich ein großes Verständnisproblem. Dies kann man ja schon ins Koordinatensystem zeichen oder?
Aber wie soll das funktioniern wenn man die x-werte nicht weiß?
4. Könnt ihr mir erklären was mit einer Funktion passiert wenn man die erste Ableitung draus macht. Ich weiß zwar wie man es rechnet, allerdings wie wirkt es sich auf die Kurve aus?
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Danke
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Hi, freak,
> Hallo, ich habe ein paar Fragen zu den Funktionen:
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> 1. Die Nullstellen: Ist die Nullstelle der Punkt an dem die
> Kurve an der X oder Y Achse die 0 erreicht?
Nullstellen sind die Stellen, bei denen der Funktionsgraph
die x (!) - Achse schneidet oder berührt.
Berechnet werden diese, indem man den Funktionsterm f(x)
gleich null setzt.
Z.B. f(x) = [mm] x^{2} [/mm] - 4
Nullstellenberechnung:
[mm] x^{2} [/mm] - 4 = 0 <=> [mm] x_{1} [/mm] = +2; [mm] x_{2} [/mm] = -2.
D.h. der Graph der gegebenen Funktion (übrigens eine Parabel!)
schneidet die x-Achse bei [mm] x_{1} [/mm] = +2 und bei [mm] x_{2} [/mm] = -2.
> 2. Die Extrempunkte: Wie kann ich mir das vorstellen? Ist
> das Max. der oberste Punkt und der Min der unterste?
Im Normalfall sind "relative" Extrempunkte gemeint, also nur im Vergleich zur unmittelbaren Umgebung.
Bsp.: Rel. Hochpunkt:
(Hinweis: Man betrachtet einen Funktionsgraphen immer VON LINKS NACH RECHTS!)
Ein rel. Hochpunkt liegt dann vor, wenn der Funktionsgraph "in den Punkt hinein" steigt (also nach oben geht) und rechts von diesem Punkt fällt (also nach unten geht).
Beim Tiefpunkt ist es umgekehrt.
Zusatzbemerkung:
ABSOLUTE Extrempunkte liegen vor, wenn diese Punkte im Falle eines Hochpunktes die größtmögliche y-Koordinate,
im Falle eines Tiefpunktes die kleinstmögliche y-Koordinate aufweisen.
> 3. y = 10x³-15x+4
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> Hier habe ich ein großes Verständnisproblem. Dies kann man
> ja schon ins Koordinatensystem zeichen oder?
> Aber wie soll das funktioniern wenn man die x-werte nicht
> weiß?
Der Buchstabe x heißt aus gutem Grund "Variable" (deutsch: Veränderliche); d.h. er kann JEDEN BELIEBIGEN WERT aus der Definitionsmenge D annehmen.
Da man aus leicht einsehbaren Gründen aber nicht alle Zahlen aus D einsetzen kann (das sind ja unendlich viele!), entscheidet man sich meistens
a) für einen "funktionstypischen" Bereich; es sollen z.B. die (vorher berechneten!) Nullstellen drin liegen,
die Extremstellen (x-Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte), etc.
b) In diesem Bereich rechnet man die Funktionswerte für vier bis sagen wir mal zehn x-Werte aus (Wertetabelle!!) und kann dann den Graphen meist schon sehr genau zeichnen.
Bsp.: f(x) = [mm] x^{2} [/mm] - 4.
Da die Nullstellen bei 2 und -2 liegen, wird man hier etwa einen Zeichenbereich von [-3; 3] wählen und für jedes ganzzahlige x aus diesem Bereich den Funktionswert ausrechnen (insgesamt 7 Stück!).
> 4. Könnt ihr mir erklären was mit einer Funktion passiert
> wenn man die erste Ableitung draus macht. Ich weiß zwar wie
> man es rechnet, allerdings wie wirkt es sich auf die Kurve aus?
Mathematisch gesehen ist die 1. Ableitung eine
"FORMEL", mit der man die Steigung der Tangente
an den Funktionsgraphen in einem beliebigen Punkt
besonders leicht berechnen kann.
Beispiel: Dort, wo der Funktionsgraph eine waagrechte Tangente hat (die Steigung einer waagrechten Geraden ist 0 !), dort ist die Ableitung f'(x) der Funktion gleich 0.
Umgekehrt kann man dies ausnützen, um z.B. alle Punkte des Graphen mit waagrechter Tangente auszurechnen. Diese Punkte sind - wie Du aus der Zeichnung leicht erkennen kannst - nämlich immer Hoch- oder Tiefpunkte (nur in seltenen Ausnahmen Terrassenpunkte): Und die zu ermitteln ist ja ein wesentlicher Aufgabentyp bei der Kurvendiskussion!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 15.02.2009 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | Mathematisch gesehen ist die 1. Ableitung eine
"FORMEL", mit der man die Steigung der Tangente
an den Funktionsgraphen in einem beliebigen Punkt
besonders leicht berechnen kann.
Beispiel: Dort, wo der Funktionsgraph eine waagrechte Tangente hat (die Steigung einer waagrechten Geraden ist 0 !), dort ist die Ableitung f'(x) der Funktion gleich 0.
Umgekehrt kann man dies ausnützen, um z.B. alle Punkte des Graphen mit waagrechter Tangente auszurechnen. Diese Punkte sind - wie Du aus der Zeichnung leicht erkennen kannst - nämlich immer Hoch- oder Tiefpunkte (nur in seltenen Ausnahmen Terrassenpunkte): Und die zu ermitteln ist ja ein wesentlicher Aufgabentyp bei der Kurvendiskussion!
mfG!
Zwerglein |
Danke für die Antwort, den letzten Punkt verstehe ich nicht.
Wie kann man sich das vorstellen? Eine Tangente geht durch den Graphen (waagrecht) und davon berecht man die Steigung.
Wo hat der Funktionsgraph eine waagrechte Tangente?
Danke
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Hallo
Eine Tangente ist eine Gerade die eine Kurve (in diesem Fall das Schaubild der gesuchten Funktion) in einem Punkt schneidet und in disem Punkt die gleiche Steigung hat.
Also ist eine Tangente in jedem Punkt einer Funktion zu bestimmen, denn mit Hilfe der Ableitung kann man die Steigung in jedem Punkt berechnen. Eine Gerade ist durch einen Punkt und der zugehörigen Steigung eindeutig bestimmt.
In einem Hoch- oder Tiefpunkt ist die Steigung = 0 d. h. die Tangente verläuft waagerecht.
Und genau diese Tatsache wird bei der Extremwertbestimmung ausgnutzt
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