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| Aufgabe | Welche der nachstehenden Mengen von Funktionen separieren Punkte ihres Definitionsbereiches?
1.) { f: X [mm] \to \IR [/mm] } (Menge aller reellwertigen Funktionen auf einer beliebigen Menge X)
2.) { [mm] x^m(1-x)^n [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] | m,n [mm] \in \IN [/mm] }
3.) { f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] | f ist linear}
(für alle x,y [mm] \in \IR^n [/mm] und c [mm] \in \IR [/mm] gilt: f(cx + y) = cf(x) + f(y)) |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Meine Definition von Separation lautet:
Sei A eine Familie von Funktionen auf einer Menge E. A separiert die Punkte auf E, wenn es zu jedem Paar verschiedener Punkte [mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 \in [/mm] E eine Funktion f [mm] \in [/mm] A mit [mm] f(x_1) \not= f(x_2) [/mm] gibt.
Die Definition habe ich zwar verstanden, jedoch weiß ich nicht, wie ich sie bei der Aufgabe anwenden soll. Wäre für Gegenbeispiele/Erklärungen sehr dankbar.
Gruß
Johannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:51 Do 20.05.2010 | | Autor: | Jo.Hannes |
Bei Teil 2 habe ich mir nun überlegt, dass wenn g(x) := [mm] x^m(1-x)^n [/mm] ist, gilt ja g(0) = 0 und g(1) = 0. Da g(0) = g(1) ist, separiert Nr. 2 nicht die Punkte ihres Definitionsbereiches.
Korrekt? Wie sieht es bei den anderen aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Do 20.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Dein Lösung für 2. ist korrekt.
Zu 1:
Nimm [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X mit [mm] x_1 \ne \x_2.
[/mm]
Definiere f: X $ [mm] \to \IR [/mm] $
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=x_1 \\ 0, & \mbox{für } x \ne x_1 \end{cases}
[/mm]
Zu 3:
Sind [mm] $x=(x_1,...,x_n), y=(y_1,...,y_n) \in \IR^n$ [/mm] und $x [mm] \ne [/mm] y$, so ex. ein j [mm] \in [/mm] { 1,..,n } mit [mm] x_j \ne y_j.
[/mm]
Setze $f(z)= [mm] z_j$ [/mm] für [mm] $z=(z_1,...,z_n) \in \IR^n.$
[/mm]
FRED
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Danke für die Rückmeldung.
Habe ich das nun richtig verstanden, dass 1. & 3. Punkte separieren?
Gruß
Johannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Do 20.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Rückmeldung.
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> Habe ich das nun richtig verstanden, dass 1. & 3. Punkte
> separieren?
Probiers doch aus , ich hab Dir doch wunderschöne Funktionen geliefert !
FRED
>
> Gruß
> Johannes
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