Funktionen anhand Eigenschafte < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe 1 | Geben Sie reelle Funktionen mit den genannten Eigenschaften an und zeichnen Sie diese:
a) nicht stetig, geht für [mm] x->\infty [/mm] gegen [mm] \pi [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) in mehreren Punkten nicht stetig |
| Aufgabe 3 | | c) stetig, divergiert in 2 und im Unendlichen |
Hi zusammen,
wir haben Stetigkeit in der Vorlesung behandelt jedoch ohne jegliche Beispiele.
Nun habe ich das Internet durchsucht nach nicht stetigen Funktion und den geforderten Eigenschaften, jedoch ohne Erfolg.
Kann mir jemand Funktionen mit diesen Eigenschaften nennen?
Oder kann man sich selbst welche "basteln", mit den gewünschenten Eigenschaften, nach einem Schema F?
Danke schonmal für die Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 11.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie reelle Funktionen mit den genannten Eigenschaften
> an und zeichnen Sie diese:
>
> a) nicht stetig, geht für [mm]x->\infty[/mm] gegen [mm]\pi[/mm]
f(x)= [mm] \pi [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0)=4711
> b) in mehreren Punkten nicht stetig
f(x)= [mm] \pi [/mm] für x [mm] \notin \{0,1,2\} [/mm] und f(x)=4711 für x [mm] \in \{0,1,2\} [/mm]
> c) stetig, divergiert in 2 und im Unendlichen
Das probierst Du nun mal selbst !
FRED
> Hi zusammen,
>
> wir haben Stetigkeit in der Vorlesung behandelt jedoch ohne
> jegliche Beispiele.
> Nun habe ich das Internet durchsucht nach nicht stetigen
> Funktion und den geforderten Eigenschaften, jedoch ohne
> Erfolg.
>
> Kann mir jemand Funktionen mit diesen Eigenschaften
> nennen?
> Oder kann man sich selbst welche "basteln", mit den
> gewünschenten Eigenschaften, nach einem Schema F?
>
> Danke schonmal für die Hilfe im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
heißt das bei a) f(x) = [mm] \pi [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0
das [mm] \pi [/mm] bei x=0 eine Lücke hat und deswegen nicht stetig ist ?
Oder bei b) das [mm] \pi [/mm] bei den 3 Punkten Lücken hat und deswegen nicht stetig ist ?
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Hallo Bindl,
> heißt das bei a) f(x) = [mm]\pi[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0
> das [mm]\pi[/mm] bei x=0 eine Lücke hat und deswegen nicht stetig
> ist ?
Nee, keine Lücke. Nur passt der Funktionswert da einfach nicht zu den benachbarten.
Unstetig wäre so eine Funktion aber natürlich auch, wenn sie bei x=0 einfach eine Definitionslücke hat, also z.B. [mm] f(x)=\pi-\bruch{1}{x}
[/mm]
> Oder bei b) das [mm]\pi[/mm] bei den 3 Punkten Lücken hat und
> deswegen nicht stetig ist ?
Entsprechend wie oben. An den drei Punkten ist die Funktion anders definiert als sonst, und zwar so, dass sie eben unstetig wird.
Geschickt bei dieser einfachen Lösung ist aber, dass der Definitionsbereich von f(x) überhaupt nicht eingeschränkt wird. Die Funktion wird halt nur "stückweise" definiert.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mi 11.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo reverend!
> Hallo Bindl,
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> > heißt das bei a) f(x) = [mm]\pi[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0
> > das [mm]\pi[/mm] bei x=0 eine Lücke hat und deswegen nicht
> stetig
> > ist ?
>
> Nee, keine Lücke. Nur passt der Funktionswert da einfach
> nicht zu den benachbarten.
> Unstetig wäre so eine Funktion aber natürlich auch, wenn
> sie bei x=0 einfach eine Definitionslücke hat, also z.B.
> [mm]f(x)=\pi-\bruch{1}{x}[/mm]
Das ist aber stetig!
Eine Funktion heißt stetig, falls sie in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist!
[mm] f:\IR\setminus\{0\}\longrightarrow \IR [/mm] mit [mm] x\longrightarrow\pi-\frac{1}{x}
[/mm]
Hier ist [mm] x_0=0 [/mm] ausgeschlossen, sodass für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] \delta>0 [/mm] derart, sodass [mm] |f(x)-f(x_0)|<\delta [/mm] für alle [mm] x\in D_f=\IR\setminus\{0\} [/mm] , sobald [mm] |x-x_0|<\epsilon.
[/mm]
>
> > Oder bei b) das [mm]\pi[/mm] bei den 3 Punkten Lücken hat und
> > deswegen nicht stetig ist ?
>
> Entsprechend wie oben. An den drei Punkten ist die Funktion
> anders definiert als sonst, und zwar so, dass sie eben
> unstetig wird.
> Geschickt bei dieser einfachen Lösung ist aber, dass der
> Definitionsbereich von f(x) überhaupt nicht eingeschränkt
> wird. Die Funktion wird halt nur "stückweise" definiert.
>
> Grüße
> reverend
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Mi 11.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo reverend!
>
> > Hallo Bindl,
> >
> > > heißt das bei a) f(x) = [mm]\pi[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0
> > > das [mm]\pi[/mm] bei x=0 eine Lücke hat und deswegen nicht
> > stetig
> > > ist ?
> >
> > Nee, keine Lücke. Nur passt der Funktionswert da einfach
> > nicht zu den benachbarten.
> > Unstetig wäre so eine Funktion aber natürlich auch,
> wenn
> > sie bei x=0 einfach eine Definitionslücke hat, also z.B.
> > [mm]f(x)=\pi-\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Das ist aber stetig!
>
> Eine Funktion heißt stetig, falls sie in ihrem gesamten
> Definitionsbereich stetig ist!
>
> [mm]f:\IR\setminus\{0\}\longrightarrow \IR[/mm] mit
> [mm]x\longrightarrow\pi-\frac{1}{x}[/mm]
>
> Hier ist [mm]x_0=0[/mm] ausgeschlossen, sodass für alle [mm]x_0\in D_f=\IR\setminus\{0\}[/mm]
> existiert ein [mm]\delta>0[/mm] derart, sodass [mm]|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
> für alle [mm]x\in D_f,[/mm] sobald [mm]|x-x_0|<\epsilon.[/mm]
Was ist los ??? Schau Dir die Def. von Stetigkeit nochmal an !
FRED
>
> >
> > > Oder bei b) das [mm]\pi[/mm] bei den 3 Punkten Lücken hat und
> > > deswegen nicht stetig ist ?
> >
> > Entsprechend wie oben. An den drei Punkten ist die Funktion
> > anders definiert als sonst, und zwar so, dass sie eben
> > unstetig wird.
> > Geschickt bei dieser einfachen Lösung ist aber, dass
> der
> > Definitionsbereich von f(x) überhaupt nicht eingeschränkt
> > wird. Die Funktion wird halt nur "stückweise" definiert.
> >
> > Grüße
> > reverend
>
> Gruß
> DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Mi 11.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hiho,
War was falsches kopiert. Ist schon verbessert 
Danke Dir!
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
keine Lücken, sondern Sprungstellen. .Eine Lücke wäre, wenn es an den Punkten nicht definiert w#re.
Gruss leduart
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Hallo Bindl,
zu jeder dieser Aufgaben kannst Du Dir unendlich viele Funktionen basteln.
Fred macht die einfachste Fassung vor: an den fraglichen Punkten definiert man einfach einen anderen Funktionswert.
> Geben Sie reelle Funktionen mit den genannten Eigenschaften
> an und zeichnen Sie diese:
>
> a) nicht stetig, geht für [mm]x->\infty[/mm] gegen [mm]\pi[/mm]
> b) in mehreren Punkten nicht stetig
> c) stetig, divergiert in 2 und im Unendlichen
> Hi zusammen,
>
> wir haben Stetigkeit in der Vorlesung behandelt jedoch ohne
> jegliche Beispiele.
Tsss, tsss.
> Nun habe ich das Internet durchsucht nach nicht stetigen
> Funktion und den geforderten Eigenschaften, jedoch ohne
> Erfolg.
Es ist besser, Du verstehst den Begriff der Stetigkeit und den der Funktion, statt Lösungen zu googeln. Das bringt Dir doch nichts.
> Kann mir jemand Funktionen mit diesen Eigenschaften
> nennen?
Klar. Tausende von Leuten, mit jeweils tausenden von Funktionen. Du brauchst doch aber nur je eine...
> Oder kann man sich selbst welche "basteln", mit den
> gewünschenten Eigenschaften, nach einem Schema F?
Schema F ist nicht gefragt, sondern selbst denken.
Nehmen wir mal Aufgabe c), einfach weil die noch übrig ist.
Kennst Du Funktionen, die an irgendeinem endlichen x (und erstmal nur dort) divergieren? Da fallen einem doch direkt so Sachen wie [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] oder [mm] f(x)=\ln{|x|} [/mm] ein, und wohl viele mehr.
Deren Unstetigkeitsstelle (in beiden Fällen ein Pol) musst Du jetzt nach x=2 verschieben.
Und schließlich kann man ja noch eine Funktion dazu addieren oder mit ihr multiplizieren, die bei x=2 einen endlichen Wert hat, aber im Unendlichen divergiert.
Jetzt Du. Wie gesagt: eine Funktion dieser Art reicht hier völlig. Es muss nicht die intelligenteste, schönste und preiswürdigste sein - sondern irgendeine, die die Bedingungen erfüllt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich nehme mal f(x) = [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] Jetzt muss deren Polstelle x=2 sein.
Also die die Nennerfunktion =0 muss x=2 ergeben.
Also f(x) = [mm] \bruch{1}{x-2}
[/mm]
Jetzt addiere ich eine Funktion die bei x=2 einen endlichen Wert hat aber im unendlichen divergiert.
Z.B. f(x) = x
Dann wäre die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] + x
Habe ich den Hinweiß richtig verstanden ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das ist richtig, aber du solltest jetzt auch noch zu a und b eigene Lösungen "erfinden" am besten mehrere, damit du sicherer wirst. du kannst sie ja hier reinschreiben zur Kontroööe.
Grus leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Danke für die Hilfe.
Also zu a) oder b) kann man ja z.b. f(x) = 2 nehmen und dann x-Werte auschließen. Je nach dem wie viele Lücken man haben möchte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Sa 14.12.2013 | | Autor: | CAKL |
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Sa 14.12.2013 | | Autor: | CAKL |
| Aufgabe | Aufgabe3:
stetig, divergiert in 2 und im Unendlichen. |
Hallo,
habe nochmal drübergeschaut: [mm] {\bruch{1}{x-2} +x} [/mm] ist aber nicht stetig, was in C) jedoch verlangt wird?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Sa 14.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Wo ist dieser Funktionsterm nicht stetig? Über die Stetigkeit einer Funktion kann nur etwas ausgesagt werden, wenn die Funktion an der Stelle auch definiert ist.
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