Funktionen aus L^p und S < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Sei [mm] $\mathscr{L}^1(\mathbb{R})$ [/mm] und [mm] $\mathscr{L}^2(\mathbb{R})$ [/mm] der Raum aller absolut bzw. quadratisch integrierbaren Funktionen.
2) Sei [mm] $\mathscr{S}(\mathbb{R})$ [/mm] der Schwarzraum. |
Ich habe eine Verständnisfrage zu diesen Räumen:
1) Gilt [mm] $$\mathscr{L}^2(\mathbb{R})\subset\mathscr{L}^1(\mathbb{R})$?
[/mm]
Kann für [mm] $f\in L^i(\mathbb{R})$ [/mm] der Fall eintreten, dass [mm] $f:\mathscr{L}^i(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{C}, [/mm] i=1,2$?
2) Kann der Fall eintreten, dass [mm] $f:\mathscr{S}(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{C}$?
[/mm]
Sind Schwarzfunktionen stetig?
Sind Schwarzfunktionen auch in einem der Räume aus 1)?
Warum sind für eine Schwarzfunktion $f$ die Voraussetzungen des Satzes von Fubini (näml., dass [mm] $f\in L^1(\mathbb{R})$?) [/mm] erfüllt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Martin!
> 1) Sei [mm]\mathscr{L}^1(\mathbb{R})[/mm] und
> [mm]\mathscr{L}^2(\mathbb{R})[/mm] der Raum aller absolut bzw.
> quadratisch integrierbaren Funktionen.
>
> 2) Sei [mm]\mathscr{S}(\mathbb{R})[/mm] der Schwarzraum.
> Ich habe eine Verständnisfrage zu diesen Räumen:
>
> 1) Gilt
> [mm]$$\mathscr{L}^2(\mathbb{R})\subset\mathscr{L}^1(\mathbb{R})$?[/mm]
Nein. Die Inklusion ist ebenso falsch wie die umgekehrte Inklusion. Bei anderen Maßen sieht das anders aus, dort kann durchaus eine der beiden Inklusionen richtig sein (bei endlichen Maßen etwa die zu deiner umgekehrten).
> Kann für [mm]f\in L^i(\mathbb{R})[/mm] der Fall eintreten, dass
> [mm]f:\mathscr{L}^i(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{C}, i=1,2[/mm]?
Die Frage verstehe ich nicht.
> 2) Kann der Fall eintreten, dass
> [mm]f:\mathscr{S}(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{C}[/mm]?
Diese ebenso nicht.
> Sind Schwarzfunktionen stetig?
Ja natürlich, sie sind nach Definition sogar [mm] $C^{\infty}$.
[/mm]
> Sind Schwarzfunktionen auch in einem der Räume aus 1)?
Ja, sie sind in [mm] $L^p(\IR)$ [/mm] für $p [mm] \ge [/mm] 1$ und liegen dort sogar dicht.
> Warum sind für eine Schwarzfunktion [mm]f[/mm] die Voraussetzungen
> des Satzes von Fubini (näml., dass [mm]f\in L^1(\mathbb{R})[/mm]?)
> erfüllt?
Anschaulich: Schwartzfunktionen verschwinden im Unendlichen schneller als das Reziproke jeden Polynoms. Für einen exakten Beweis muss man entsprechend durch ein solches abschätzen...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:41 Do 05.01.2006 | | Autor: | martin1984 |
Vielen Dank für deine Antwort Stefan.
Was ich mit den zwei Fragen meinte, die du nicht verstanden hast:
Kann es Funktionen geben, die in [mm] $L^p(\mathbb{R})$ [/mm] liegen, deren Zielraum aber [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] ist?
Ebenso beim Schwarzraum:
Kann es Funktionen geben, die in [mm] $S(\mathbb{R})$ [/mm] liegen, deren Zielraum aber [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:29 Do 05.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Martin!
Ja, in der Regel wird sogar in beiden Räumen [mm] $\IC$ [/mm] als Zielbereich in der Definition gesetzt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Do 05.01.2006 | | Autor: | martin1984 |
Das ist ja jetzt Mist... Dann hab ich ein Problem. Das einzige, was für mein Seminar nur noch zeigen muss, ist dass zwei Skalarprodukte wegfallen müssen, die genau komplex konjugiert zueinander sind, d.h., dass der Realteil =0 sein muss:
+ ip [mm] \int_{\mathbb{R}^2} \frac{dpdq}{2\pi} \left( \int_{\mathbb{R}} \bar{\psi}(x)g'(x-q)e^{-ipx} dx
\int_{\mathbb{R}} \psi(y)\bar{g}(y-q)e^{ipy} dy \right) \\
[/mm]
- ip [mm] \int_{\mathbb{R}^2} \frac{dpdq}{2\pi} \left( \int_{\mathbb{R}} \bar{\psi}(x)g(x-q)e^{-ipx} dx
\int_{\mathbb{R}} \psi(y)\bar{g}'(y-q)e^{ipy} dy \right) \\
[/mm]
[mm] =2\text{Re}~\left(ip \int_{\mathbb{R}^2} \frac{dpdq}{2\pi} \left( \int_{\mathbb{R}} \bar{\psi}(x)g'(x-q)e^{-ipx} dx
\int_{\mathbb{R}} \psi(y)\bar{g}(y-q)e^{ipy} dy \right)\right)
[/mm]
Wobei alle Funktionen Schwarzfunktionen aus [mm] S(\mathbb{R}) [/mm] sind.
Und ich habe keine Ahnung, wie ich das anstellen soll. Hast du eine Idee?
Vielen Dank. Martin
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