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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Di 03.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | [mm] f_{n}: [/mm] [0 ; 1] [mm] \rightarrow \IR; [/mm] x [mm] \rightarrow \bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}}
[/mm]
Überprüfen Sie die Funktionenfolge auf punktweise und glm. konvergenz und geben Sie ggf. die Grenzwertfunktion an. |
Hallo,
ich habe versucht obige Aufgabe zu lösen. Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] f_{n} [/mm] : [0; 1] [mm] \rightarrow \IR; [/mm] x [mm] \rightarrow \bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}}
[/mm]
Für x [mm] \not= [/mm] 0 gilt:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}} \rightarrow \infty \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] ]0; 1]
Für x=0 gilt:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(0)=\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{n \cdot 0}{1+n^{2} \cdot 0^{2}}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] ist nicht punktweise konvergent und somit auch nicht glm. konvergent!
Richtig? Falsch???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
> [mm]f_{n}:[/mm] [0 ; 1] [mm]\rightarrow \IR;[/mm] x [mm]\rightarrow \bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}}[/mm]
>
> Überprüfen Sie die Funktionenfolge auf punktweise und
> glm. konvergenz und geben Sie ggf. die Grenzwertfunktion
> an.
> Hallo,
>
> ich habe versucht obige Aufgabe zu lösen. Hier mein
> Lösungsvorschlag:
>
> [mm]f_{n}[/mm] : [0; 1] [mm]\rightarrow \IR;[/mm] x [mm]\rightarrow \bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}}[/mm]
>
> Für x [mm]\not=[/mm] 0 gilt:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm] = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}} \rightarrow \infty \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] ]0; 1]
Na, das stimmt doch nicht, die Potenz von n im Nenner ist doch größer als die im Zähler, das strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] doch ganz offensichtlich gegen 0 ...
>
> Für x=0 gilt:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(0)=\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{n \cdot 0}{1+n^{2} \cdot 0^{2}}=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] ist nicht punktweise konvergent und somit
> auch nicht glm. konvergent! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Punktweise Konvergenz liegt hier vor!
Wie ist es mit gleichmäßiger Konvergenz?
>
> Richtig? Falsch???
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Di 03.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
ok. Danke :)
wie wäre es mit dem Lösungsvorschlag:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] konvergiert punktweise.
Richtig???
Wie gehe ich für die glm. konvergenz vor???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo nochmal,
> ok. Danke :)
>
> wie wäre es mit dem Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm] = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}}[/mm] = 0
Für alle [mm]x\in [0,1][/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] konvergiert punktweise.
Ja, das zeigst du ja mit dieser Fallunterscheidung, 1) [mm]x=0[/mm], 2) [mm]x\in (0,1][/mm]
>
> Richtig???
Ja!
>
> Wie gehe ich für die glm. konvergenz vor???
Tipp: Die Funktionenfolge ist nicht glm. konvergent
Schaue dir die Definition von glm. Konvergenz an und berechne mal [mm]f_n(1/n)[/mm] für beliebiges [mm]n\in\IN[/mm] ...
Dann sollte dir was auffallen ...
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mi 04.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hallo schachuzipus,
Danke für deine Hilfe.
Also habe hier nochmal einen ausführlichen Lösungsvorschlag. Habe mir alle Definitionen nochmals angeschaut und komme auf folgendes:
Für x=0 gilt:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(0)=\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{n \cdot 0}{1+n^{2} \cdot 0^{2}} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{0}{1} [/mm] = 0
[mm] \forall [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0 gilt:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{n \cdot (x)}{n \cdot (\bruch{1}{n}+nx^{2})}=\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{x}{\bruch{1}{n} +nx^{2}}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] konvergiert punktweise gegen f(x)=0, da es gilt:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|=|\bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}}-0|=|\bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}}|=\bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}} \le \bruch{x}{nx^{2}}=\bruch{1}{nx} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 und für fast alle n.
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] konvergiert glm.
Was sagst du dazu?
Richtig? Falsch??
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> Danke für deine Hilfe.
Gerne!
>
> Also habe hier nochmal einen ausführlichen
> Lösungsvorschlag. Habe mir alle Definitionen nochmals
> angeschaut und komme auf folgendes:
>
> Für x=0 gilt:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(0)=\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{n \cdot 0}{1+n^{2} \cdot 0^{2}}[/mm]
> = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{0}{1}[/mm] = 0
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\not=[/mm] 0 gilt:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{n \cdot (x)}{n \cdot (\bruch{1}{n}+nx^{2})}=\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{x}{\bruch{1}{n} +nx^{2}}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] konvergiert punktweise gegen f(x)=0,
Fertig!
> da
> es gilt:
>
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|=|\bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}}-0|=|\bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}}|=\bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}} \le \bruch{x}{nx^{2}}=\bruch{1}{nx}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 und für fast alle n.
>
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] konvergiert glm.
??
>
> Was sagst du dazu?
>
> Richtig? Falsch??
Na, was soll ich dazu sagen? Ich hatte schon den Tipp gegeben, dass die Fktfolge nicht (!) glm. konvergent ist und auch einen Hinweis gegeben, mit dem du das rechnerisch nachprüfen kannst.
Es muss für gl. Konvergenz gelten [mm]\lim\limits_{n\to\infty} \ \sup\limits_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=0 [/mm]
Berechne mal [mm]\sup\limits_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=\sup\limits_{x\in[0,1]}f_n(x)[/mm]
Noch ein Hinweis dazu: Das Supremum ist gar ein Maximum.
Wie bestimmt man das Maximum einer Funktion(enfolge)?
Mache das mal, dann wird dir auch der Hinweis aus der anderen Antwort, nämlich mal [mm]f_n(1/n)[/mm] zu berechnen für bel. [mm]n\in\IN[/mm] (hoffentlich) klar!
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mi 04.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. Danke.
Ich probiere es mal so:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |f_{n}(x)-f(x)|= \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |\bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}} [/mm] - 0|= [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |\bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}}|= \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} \bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{\bruch{1}{n} +n} \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] ist nicht glm. konvergent.
Zum Maximum:
[mm] f_{n}'(x)=0 \gdw x=\bruch{1}{n}
[/mm]
(Die Rechnung möchte ich jetzt hier nicht komplett abtippen, habe ich aber auf dem Blatt.)
Diese Stelle ist ein Maximum, da:
[mm] f''_{n}(\bruch{1}{n})= [/mm] ... = [mm] -\bruch{8n}{16} [/mm] < 0
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{n} [/mm] ist Maximalstelle.
(Da wo das ... steht habe ich gerechnet, möchte ich hier aber nich abtippen.)
Ich habe auch [mm] f_{n}(\bruch{1}{n}) [/mm] berechnet. Da kommt [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus.
Aber warum mache ich das alles? Ich verstehe nicht warum das Maximum berechnen?? Warum betrachte ich [mm] f_{n}(\bruch{1}{n})???
[/mm]
Bitte erklär mir das! :-(
Grüße
Ali
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Hallo nochmal,
> Ok. Danke.
>
> Ich probiere es mal so:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |f_{n}(x)-f(x)|= \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |\bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}}[/mm]
> - 0|= [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |\bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}}|= \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} \bruch{x}{\bruch{1}{n}+nx^{2}}[/mm]
> = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{\bruch{1}{n} +n} [/mm]
Wieso sollte das gelten? Begründe das bitte mal!
> [mm]\not= 0[/mm]
Ist das so?
M.E. ist [mm]\frac{1}{1/n+n}=\frac{1}{(1+n^2)/n}=\frac{n}{1+n^2}[/mm] und das strebt doch gegen 0 ...
>
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] ist nicht glm. konvergent.
>
> Zum Maximum:
>
> [mm]f_{n}'(x)=0 \gdw x=\bruch{1}{n}[/mm]
>
> (Die Rechnung möchte ich jetzt hier nicht komplett
> abtippen, habe ich aber auf dem Blatt.)
>
> Diese Stelle ist ein Maximum, da:
>
> [mm]f''_{n}(\bruch{1}{n})=[/mm] ... = [mm]-\bruch{8n}{16}[/mm] < 0
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{n}[/mm] ist Maximalstelle.
>
> (Da wo das ... steht habe ich gerechnet, möchte ich hier
> aber nich abtippen.)
>
> Ich habe auch [mm]f_{n}(\bruch{1}{n})[/mm] berechnet. Da kommt
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] raus.
Aha, also hat das sup oder max für alle [mm]n\in\IN[/mm] den Wert 1/2 - und das ist konstant, da ändert [mm]n\to\infty[/mm] nix dran ...
Der [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\text{blabla}[/mm] ist also [mm]\neq 0[/mm]
>
> Aber warum mache ich das alles? Ich verstehe nicht warum
> das Maximum berechnen?? Warum betrachte ich
> [mm]f_{n}(\bruch{1}{n})???[/mm]
>
> Bitte erklär mir das! :-(
Für jedes [mm]n\in\IN[/mm] ist [mm]x=1/n[/mm] aus dem Intervall [mm][0,1][/mm]
Und [mm]\sup\limits_{x\in[0,1]}f_n(x) \ \ge \ f_n(1/n)=1/2[/mm]
Das solltest du erkennen ...
>
> Grüße
> Ali
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mi 04.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
AHAAAA.... Ich habs verstanden!!! (Denke ich zumindest)
Also [mm] f_{n}(x) [/mm] konvergiert glm. wenn:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |f_{n}(x)-f(x)|=0
[/mm]
ansonsten nicht!
Also:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |\bruch{xn}{1+n^{2}x^{2}}-0|=\lim_{n \rightarrow \infty} |\bruch{1}{2}-0|=\lim_{n \rightarrow \infty}\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] konvergiert nicht glm.!
Richtig???
Bitte sag ja :)
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Hallo nochmal,
> AHAAAA.... Ich habs verstanden!!! (Denke ich zumindest)
>
> Also [mm]f_{n}(x)[/mm] konvergiert glm. wenn:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |f_{n}(x)-f(x)|=0[/mm]
Jo
>
> ansonsten nicht!
>
> Also:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |f_{n}(x)-f(x)|[/mm]
> = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; 1]} |\bruch{xn}{1+n^{2}x^{2}}-0|=\lim_{n \rightarrow \infty} |\bruch{1}{2}-0|=\lim_{n \rightarrow \infty}\bruch{1}{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \not=[/mm] 0
>
> [mm]%5CRightarrow%20f_%7Bn%7D[/mm] konvergiert nicht glm.!
>
> Richtig???
>
> Bitte sag ja :)
Na gut: JA!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:26 Do 05.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke Danke für deine Geduld.
Noch eine Frage:
Wie ist die "Grenzwertfunktion" definiert?
Ist diese Def. richtig:
" [mm] f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)
[/mm]
Wobei f(x) die Grenzwertfunktion darstellt."
???
Danke dir.
LG
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Do 05.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke Danke für deine Geduld.
>
> Noch eine Frage:
>
> Wie ist die "Grenzwertfunktion" definiert?
>
> Ist diese Def. richtig:
>
> " [mm]f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm]
Ja
FRED
>
> Wobei f(x) die Grenzwertfunktion darstellt."
>
> ???
>
> Danke dir.
>
> LG
> Ali
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