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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 So 16.12.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo,
habe neFragen:
Weiß jemand, ob der Funktionenkörper [mm] \IF_{2}(X) [/mm] algebraisch abgeschlossen ist ?
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Di 18.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry
> habe neFragen:
> Weiß jemand, ob der Funktionenkörper [mm]\IF_{2}(X)[/mm]
> algebraisch abgeschlossen ist ?
Ist er nicht: das Polynom [mm] $T^2 [/mm] - X [mm] \in \IF_2(X)[T]$ [/mm] hat zum Beispiel keine Nullstelle in [mm] $\IF_2(X)$.
[/mm]
(Hier koenntest du auch [mm] $\IF_2$ [/mm] gegen jeden anderen beliebigen Koerper austauschen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Di 18.12.2007 | | Autor: | Schwager |
Hallo Felix,
ich habe [mm] $X\in F_2(X)$ [/mm] als Nullstelle von [mm] $T^2-X\in \IF_2(X)[T]$.
[/mm]
Viele Grüße
Schwager
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:54 Mi 19.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Schwager
> ich habe [mm]X\in F_2(X)[/mm] als Nullstelle von [mm]T^2-X\in \IF_2(X)[T][/mm].
Du behauptest also, dass [mm] $X^2 [/mm] - X = 0$ ist? In dem Fall wuerde der Polynomring [mm] $\IF_2[X]$ [/mm] ziemlich langweilig aussehen und hoechstens vier Elemente haben, was ich doch arg bezweifle...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Schwager |
Hallo Felix
ich fürchte, ich habe [mm] $X^2-X\in\IF_2[X]$ [/mm] mit dem induzierten Einsetzungshomomorphismus [mm] $\IF_2\to\IF_2$ [/mm] identifiziert, der ja gerade die Nullabbildung ist.
Eigentlich ein schönes Bsp. dafür, daß das mit dem endlichen Körper [mm] $\IF_2$ [/mm] schief geht 
Inzw. konnte ich zeigen, daß Dein Polynom tatsächlich keine Nullstelle in [mm] $\IF_2(X)$ [/mm] hat.
Danke auch von meiner Seite
Schwager
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo,
kann ich das so machen:
T²-X = 0 => T² = X
und mit normalen Polynomen kann man diese Gleichung nicht lösen oder ?
LG
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 19.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> kann ich das so machen:
> T²-X = 0 => T² = X
> und mit normalen Polynomen kann man diese Gleichung nicht
> lösen oder ?
Genau, und ebenso wenig mit rationalen Funktionen. Sieht man schnell wenn man $T = P/Q$ einsetzt mit $P, Q [mm] \in \IF_2[X]$ [/mm] und die Gleichung mit [mm] $Q^2$ [/mm] multipliziert, und dann auf beiden Seiten den Grad vergleicht (einmal ist er gerade, einmal ungerade).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 19.12.2007 | | Autor: | wee |
> Inzw. konnte ich zeigen, daß Dein Polynom tatsächlich
> keine Nullstelle in [mm]\IF_2(X)[/mm] hat.
Und wie? Ich komme hier nämlich gerade nicht weiter.
lg
wee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Mi 19.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > Inzw. konnte ich zeigen, daß Dein Polynom tatsächlich
> > keine Nullstelle in [mm]\IF_2(X)[/mm] hat.
>
> Und wie? Ich komme hier nämlich gerade nicht weiter.
Es reicht zu zeigen, dass es irreduzibel ist. Und das folgt sofort mit dem Eisensteinkriterium (damit folgt die Irreduziblitaet in [mm] $\IF_2[X][T]$) [/mm] und dem Satz von Gauss (womit dann die Irreduziblitaet in [mm] $Quot(\IF_2[X])[T] [/mm] = [mm] \IF_2(X)[T]$ [/mm] folgt).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:45 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Fry |
Hi Felix.
Vielen Dank.Das hilft mir weiter.
Viele Grüße
Christian
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